异或值

异或值

给定一个长度为 $n$ 的整数序列 $a_1,a_2, \ldots, a_n$。

请你找到一个非负整数 $X$，使得 $\max\limits_{1 \leq i \leq n} \{ a_i \oplus X \}$ 的值尽可能小，其中 $\oplus$ 表示按位异或。

输出 $\max\limits_{1 \leq i \leq n} \{ a_i \oplus X \}$ 的最小可能值。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$。

输出格式

一个整数，表示 $\max\limits_{1 \leq i \leq n} \{ a_i \oplus X \}$ 的最小可能值。

数据范围

前 $3$ 个测试点满足 $1 \leq n \leq 3$。
所有测试点满足 $1 \leq n \leq {10}^{5}$，$0 \leq a_i \leq {2}^{30}−1$。

输入样例1：

3
1 2 3

输出样例1：

2

输入样例2：

2
1 5

输出样例2：

4

 

解题思路

　　先把每个数的二进制表示用Trie存下来，然后在Trie上dfs求异或结果的最小值。

　　从二进制的最高位（第$29$位）开始看，$X$的最高位有两种选择，即$0$和$1$。由于异或运算对每个位是独立的，我们可以先递归求出两棵子树（即$0$和$1$两个方向）在第$28$位到第$0$位中异或结果的最大值的最小值，假设存在且为$a$（对应$0$那个分支的子树）和$b$（对应$1$那个分支的子树）。如果$X$的最高位是$0$，那么异或结果的最大值的最小值就是$\max \{ a, b + 2^{29} \}$。同理如果$X$的最高位是$1$，那么异或结果的最大值的最小值就是$\max \{ a + 2^{29}, b \}$。最终的答案就是这两种情况的最小值，即$\min \left\{ \max \{ a, b + 2^{29} \}, \ \max \{ a + 2^{29}, b \} \right\}$。

　　更一般的，如果递归到$X$的第$d$位，那么第$d$位到第$0$位的异或结果的最大值的最小值就是$$\min \left\{ \max \{ a, b + 2^{d} \}, \ \max \{ a + 2^{d}, b \} \right\}$$

　　其中如果$0$对应的那个分支不存在，那么令$a = -\infty$。如果$1$对应的那个分支不存在，那么令$b = -\infty$。

　　然后是时间复杂度的问题，看上去好像每层递归都有两个分支，时间复杂度为$O(2^{30})$。实则不然，因为Trie中最多只有$30 \times n$个节点，因此时间复杂度应该是$O(30 \times n)$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 30e5 + 10;

int tr[N][2], idx;

void insert(int x) {
    int p = 0;
    for (int i = 29; i >= 0; i--) {
        int t = x >> i & 1;
        if (!tr[p][t]) tr[p][t] = ++idx;
        p = tr[p][t];
    }
}

int dfs(int u, int d) {
    if (d == -1) return 0;
    int a = -2e9, b = -2e9;
    if (tr[u][0]) a = dfs(tr[u][0], d - 1);
    if (tr[u][1]) b = dfs(tr[u][1], d - 1);
    return min(max(a, b + (1 << d)), max(a + (1 << d), b));
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        insert(x);
    }
    printf("%d", dfs(0, 29));
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4869. 异或值（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4644/