Nim游戏

Nim游戏

给定 $n$ 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个数字，其中第 $i$ 个数字表示第 $i$ 堆石子的数量。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes 。

否则，输出 No 。

数据范围

$1 \leq n \leq {10}^5$,
$1 \leq \text{每堆石子数} \leq {10}^9$

输入样例：

2
2 3

输出样例：

Yes

 

解题思路

　　最基础的博弈论，主要补充证明。

　　先介绍两种状态，必胜态和必败态，这两种状态都是对于先手而言的。

1. 必胜态，即当前状态为先手必胜的状态。在Nim游戏中指的是先手拿完石子后的所有状态中，存在一个状态是必败态。此时由于下一个状态是对手先手必败态，所以当前的状态就是先手必胜态。
2. 必败态，即当前状态为先手必败的状态。在Nim游戏中指的是先手拿完石子后的所有状态中，不存在一个状态是必败态（即所有的状态都是对手先手必胜态）。此时由于下一个状态均是对手先手必胜态，所以当前的状态就是先手必败态。

　　先手必胜状态：可以走到某一个必败状态。先手必败状态：走不到任何一个必败状态。

　　对于Nim游戏，先给出结论：有$n$堆石子分别为$a_1 \sim a_n$，如果有$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$那么先手必败，否则$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \ne 0$那么先手必胜。

　　当每一堆石子均为$0$，即$a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$，那么很明显先手必败，此时有$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$。

　　当$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = x \ne 0$，证明一定可以从某一堆中拿走若干个石子使得异或值为$0$。假设$x$的二进制最高位的$1$是第$k$位，因此$a_1 \sim a_n$中必然至少存在一个数$a_i$，$a_i$的二进制第$k$位为$1$。因此有$a_i \oplus x < a_i$，这是因为$a_i \oplus x$的结果的第$k$位为$0$，而更高位的数与$a_i$相同（更高位即大于$k$的高位，$x$的更高位均为$0$，因此异或后的结果与$a_i$相同），故$a_i \oplus x < a_i$。然后我们从$a_i$这堆中拿走$a_i - (a_i \oplus x)$个石子，就变成了$a_i' = a_i - \left( {a_i - (a_i \oplus x)} \right) = a_i \oplus x$。剩下的数的异或结果就是

$$\begin{align*} & \ \ \ \ \ a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i' \oplus \cdots \oplus a_n \\ &= a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus (a_i \oplus x) \oplus \cdots \oplus a_n \\ &= a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \oplus x \\ &= x \oplus x \\ &= 0 \end{align*}$$

　　故如果异或值不为$0$那么一定存在一种操作方式使得异或值变成$0$。意味着如果先手遇到异或值不为$0$的状态，那么一定可以转换为让对手先手必败的状态。

　　如果$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$（其中$a_1 \sim a_n$不全为$0$），那么不管从哪堆石子中拿多少石子，剩下的数的异或值必然不为$0$。反证法，假设从第$i$堆中石子拿完石子后变成了$a_i' \ne a_i$，并且$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_i' \oplus \cdots \oplus a_n \ne 0$，将该式子与$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$等号两边进行异或，就会得到$a_i \oplus a_i' = 0$，即$a_i = a_i'$（等号两边同时异或$a_i'$），就矛盾了，因为我们至少要拿一个石子。

　　因此现在我们得到$3$个结论：

1. 没有后继状态的状态是必败状态。
2. 对于$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \ne 0$的状态，一定存在某种移动使得 $a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$。
3. 对于$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n = 0$的状态，一定不存在某种移动使得$a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n \ne 0$。

　　这就说明如果先手时异或值不为$0$，那么一定可以变成异或值为$0$的状态给后手，而后手不管怎么拿都一定会变成异或值不为$0$的状态给先手，重复该过程，可以发现先手总是处于不为$0$的状态而后手总是处于为$0$的状态，由于最终全部石子都会被拿完，且后手的异或值总是为$0$，因此先手必胜而后手必败。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int ret = 0;
    while (n--) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        ret ^= x;
    }
    printf("%s", ret ? "Yes" : "No");
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 891. Nim游戏：https://www.acwing.com/video/312/

　　博弈论 - OI Wiki：https://deploy-preview-980--oi-wiki.netlify.app/math/game-theory/