能被整除的数

能被整除的数

给定一个整数 $n$ 和 $m$ 个不同的质数 $p_1,p_2, \ldots ,p_m$。

请你求出 $1 \sim n$ 中能被 $p_1,p_2, \ldots ,p_m$ 中的至少一个数整除的整数有多少个。

输入格式

第一行包含整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $m$ 个质数。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的整数的个数。

数据范围

$1 \leq m \leq 16$,

$1 \leq n, p_i \leq {10}^9$

输入样例：

10 2
2 3

输出样例：

7

 

解题思路

　　容斥原理。

　　定义$S_{p_{i}}$表示$1 \sim n$中能被$p_i$整除的数的集合。因此答案就是$$\left| \bigcup\limits_{1 \leq i \leq m} {S_{p_{i}}} \right| = \sum\limits_{1 \leq i \leq m} {\left| S_{p_{i}} \right|} -  \sum\limits_{1 \leq {i<j} \leq m} {\left| S_{p_{i}} \cap S_{p_{j}} \right|} + \sum\limits_{1 \leq {i<j<k} \leq m} {\left| S_{p_{i}} \cap S_{p_{j}} \cap S_{p_{k}} \right|} - \dots + {\left( -1 \right)}^{m-1}\left| \bigcap\limits_{1 \leq i \leq m} {S_{p_{i}}} \right|$$

　　其中 $\left| \bigcap\limits_{1 \leq i \leq k} {S_{p_{i}}} \right|$ 表示$n$中能被$\prod\limits_{i=1}^{k}{p_i}$整除的数的个数，即$$\displaylines {\left| \bigcap\limits_{1 \leq i \leq k} {S_{p_{i}}} \right| = \left\lfloor \dfrac{n}{\prod_{i=1}^{k}{p_i}} \right\rfloor} $$

　　通过二进制枚举来实现容斥原理的计算过程，时间复杂度为$O(m \cdot 2^m)$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 20;

int p[N];

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d", p + i);
    }
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i < 1 << m; i++) {
        int cnt = 0, s = n;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (i >> j & 1) {
                cnt++;
                s /= p[j];
            }
        }
        if (~cnt & 1) s *= -1;
        ret += s;
    }
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 890. 能被整除的数：https://www.acwing.com/video/311/