方程的解

方程的解

佳佳碰到了一个难题，请你来帮忙解决。

对于不定方程 $a_1 + a_2+ \ldots + a_{k−1} + a_k = g(x)$，其中 $k \geq 1$ 且 $k \in N^{*}$，$x$ 是正整数，$g(x) = x^{x} \bmod 1000$（即 $x^{x}$ 除以 $1000$ 的余数），$x,k$ 是给定的数。

我们要求的是这个不定方程的正整数解组数。

举例来说，当 $k=3,x=2$ 时，方程的解分别为：

$$\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2 = 1 \\ a_3 = 2 \end{cases} \ \ \begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2 = 2 \\ a_3 = 1 \end{cases} \ \ \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_2 = 1 \\ a_3 = 1 \end{cases}$$

输入格式

有且只有一行，为用空格隔开的两个正整数，依次为 $k,x$。

输出格式

有且只有一行，为方程的正整数解组数。

数据范围

$1 \leq k \leq 100$,
$1 \leq x < 2^{31}$,
$k \leq g(x)$

输入样例：

3 2

输出样例：

3

 

解题思路

　　假设$n = x^x \bmod 1000$，这个可以用快速幂来求。因此问题就变成了求满足$a_1 + a_2 + \cdots + a_k = n$的正整数解的数量。这是一个经典的问题，可以转换成小球和隔板的问题，俗称隔板法。

　　把$n$看成$n$个小球，现在有$k$个未知数，看成是$k-1$个板子，把这$k-1$个板子插到$n-1$个空隙里面，一共把小球分成$k$组，每一种摆法都对应方程的一组解（正整数解）。因此解的方案数就等于放隔板的方案数，因此答案就是$C_{n-1}^{k-1}$。

　　由于这题没有取模，因此需要写高精度。为了方便这里用递推的方法来求组合数，其中$C_{1000}^{100}$的数位有$150$多位，因此计算量为$1000 \times 100 \times 150 \approx 10^7$级别。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010, M = 110;

vector<int> c[N][M];

int qmi(int a, int k, int p) {
    int ret = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ret = ret * a % p;
        a = a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}

void add(vector<int> &c, vector<int> &a, vector<int> &b) {
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size() || i < b.size(); i++) {
        if (i < a.size()) t += a[i];
        if (i < b.size()) t += b[i];
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    if (t) c.push_back(t);
}

int main() {
    int n, m, x;
    scanf("%d %d", &m, &x);
    n = qmi(x % 1000, x, 1000);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= i && j < m; j++) {
            if (j == 0) c[i][j].push_back(1);   // c[i][0] = 1
            else add(c[i][j], c[i - 1][j], c[i - 1][j - 1]);    // c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]
        }
    }
    for (int i = c[n - 1][m - 1].size() - 1; i >= 0; i--) {
        printf("%d", c[n - 1][m - 1][i]);
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1308. 方程的解（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/718/