C. Almost All Multiples

C. Almost All Multiples

Given two integers $n$ and $x$, a permutation$^{\dagger}$ $p$ of length $n$ is called funny if $p_i$ is a multiple of $i$ for all $1 \leq i \leq n - 1$, $p_n = 1$, and $p_1 = x$.

Find the lexicographically minimal$^{\ddagger}$ funny permutation, or report that no such permutation exists.

$^{\dagger}$ A permutation of length $n$ is an array consisting of each of the integers from $1$ to $n$ exactly once.

$^{\ddagger}$ Let $a$ and $b$ be permutations of length $n$. Then $a$ is lexicographically smaller than $b$ if in the first position $i$ where $a$ and $b$ differ, $a_i < b_i$. A permutation is lexicographically minimal if it is lexicographically smaller than all other permutations.

Input

The input consists of multiple test cases. The first line contains an integer $t$ ($1 \leq t \leq 10^4$) — the number of test cases. The description of the test cases follows.

The only line of each test case contains two integers $n$ and $x$ ($2 \leq n \leq 2 \cdot 10^5$; $1 < x \leq n$).

The sum of $n$ across all test cases does not exceed $2 \cdot 10^5$.

Output

For each test case, if the answer exists, output $n$ distinct integers $p_1, p_2, \dots, p_n$ ($1 \leq p_i \leq n$) — the lexicographically minimal funny permutation $p$. Otherwise, output $-1$.

Example

input

3
3 3
4 2
5 4

output

3 2 1 
2 4 3 1 
-1

Note

In the first test case, the permutation $[3,2,1]$ satisfies all the conditions: $p_1=3$, $p_3=1$, and:

• $p_1=3$ is a multiple of $1$.
• $p_2=2$ is a multiple of $2$.

In the second test case, the permutation $[2,4,3,1]$ satisfies all the conditions: $p_1=2$, $p_4=1$, and:

• $p_1=2$ is a multiple of $1$.
• $p_2=4$ is a multiple of $2$.
• $p_3=3$ is a multiple of $3$.

We can show that these permutations are lexicographically minimal.

No such permutations exist in the third test case.

 

解题思路

　　首先序列$a = \{ {1, 2, \ldots, n} \}$（即$a_i = i$）是满足条件的，现在交换一下$a_1$和$a_n$，那么序列就变成了$a = \{ {n, 2, 3, \ldots, n-1, 1} \}$，也是满足条件的。当我们选择下标$x$，交换$a_1$和$a_x$（也就是把$n$换到了下标$x$的位置），这时如果有$n \mid x$，那么得到的序列还是满足条件的（不一定是字典序最小）。如果$n \nmid x$，那么我们要往后找到一个$x$的倍数放到$x$这个位置，这个数可以是$k \cdot x$ $(2 \leq k \leq \left\lfloor {\frac{n}{x}} \right\rfloor)$，同理，如果选择了$k \cdot x$，那么还需要往后找到一个$k \cdot x$的倍数放到$k \cdot x$这个位置，以此类推，最终要把$n$放到某个位置，由于最后这个位置也是$x$的倍数，又因为这个位置不能整除$n$（$n$不包含因子$x$），因此无解。

　　对于有解的情况为了得到字典序最小，我们可以先让$a_x = n$，然后往后遍历找$x$的第一个倍数（也就是$2 \cdot x$），然后交换$a_{x}$和$a_{2x}$，此时我们应该往后找到$2 \cdot x$的第一个倍数（也就是$4 \cdot x$），然后交换交换$a_{2x}$和$a_{4x}$，以此类推，直到无法交换为止。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int a[N];

void solve() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    if (n % m) {
        printf("-1\n");
        return;
    }
    a[1] = m, a[n] = 1;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        a[i] = i;
    }
    if (n != m) a[m] = n;    // 如果a[1]=n那么已经是字典序最小了
    for (int i = m + m, j = m; i < n; i += j) {    // 当前放n的位置为j，因此要找j的倍数，即i+=j
        if (n % i == 0) {    // n可以放到i这个位置
            swap(a[i], a[j]);
            j = i;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%d ", a[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

　　补充另外一种做法。

　　对于$x \nmid n$，一定是无解的。假设$n$放置在任意一个合法的下标位置（也就是$n$是所在下标位置的倍数），那么这个位置原本的数就应该放置在前面某个合法位置，以此类推。可以发现在这个过程中被换出来的数都是$n$的因子，不可能是$x$的倍数（如果存在某个因子是$x$的倍数那么$n$也是$x$的倍数，就矛盾了）。到最后必然会置换出一个质数然后这个质数就没地方放了（如果不是质数的话说明质因数分解会得到两个以上的质数的乘积，说明前面还存在这个数的因子，可以继续往前置换）。

　　因此对于有解的情况，此时下标位置$x$空出来，为了得到字典序最小的序列，假设质因数分解$\dfrac{n}{x} = P_{1}^{\alpha_1} \cdot P_{2}^{\alpha_2} \cdots P_{k}^{\alpha _k}$，由于$n$只能放在$x \cdot P_{1}^{\beta_{1}} \cdot P_{2}^{\beta_2} \cdots P_{k}^{\beta_{k}}$ $(0 \leq \beta_i \leq \alpha_{i}, \, 1 \leq i \leq k)$的位置上，因此我们只能从小到大把这些数往前移一个位置，最后把$n$放在$x \cdot P_{1}^{\alpha_1} \cdot P_{2}^{\alpha_2} \cdots P_{k}^{\alpha _{k-1}}$ 这个位置上。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

int a[N];

void solve() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    if (n % m) {
        printf("-1\n");
        return;
    }
    a[1] = m, a[n] = 1;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        a[i] = i;
    }
    vector<int> fs;
    int t = n / m;
    for (int i = 2; i <= t / i; i++) {
        while (t % i == 0) {
            fs.push_back(i);
            t /= i;
        }
    }
    if (t > 1) fs.push_back(t);
    for (int i = 0, j = m; i < fs.size(); i++) {
        a[j] = j * fs[i];
        j *= fs[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%d ", a[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        solve();
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　Codeforces Round #836 (Div. 2) Editorial：https://codeforces.com/blog/entry/109438

　　Codeforces Round #836 (Div. 2) A-D ：https://www.cnblogs.com/BlankYang/p/16928287.html