区间最大公约数

区间最大公约数

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A$，以及 $M$ 条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1. C l r d ，表示把 $A[l],A[l+1], \ldots ,A[r]$ 都加上 $d$。
2. Q l r ，表示询问 $A[l],A[l+1], \ldots ,A[r]$ 的最大公约数(GCD)。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行两个整数 $N,M$。

第二行 $N$ 个整数 $A[i]$。

接下来 $M$ 行表示 $M$ 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

$N \leq 500000,M \leq 100000$,
$1 \leq A[i] \leq {10}^{18}$,
$|d| \leq {10}^{18}$

输入样例：

5 5
1 3 5 7 9
Q 1 5
C 1 5 1
Q 1 5
C 3 3 6
Q 2 4

输出样例：

1
2
4

 

解题思路

　　如果没有修改操作只有查询操作，那么直接维护区间的最大公约数就可以了。如果只有单点修改，一样只需要维护区间的最大公约数就可以了。如果是区间修改那么只维护区间最大公约数就不可以了，因为如果给某个区间都加上$x$，那么可以发现$\gcd{(a, b, c)}$与$\gcd{(a+x, b+x, c+x)}$没有什么关系，只根据之前的最大公约数是求不出来加上某个数后的最大公约数的。

　　最大公约数有这样一个性质： $$\gcd{(a_1, a_2, \ldots, a_n)} = \gcd{(a_1, a_2 - a_1, \ldots, a_n - a_{n-1})}$$

　　这里简单证明一下，根据性质$\gcd{(a, b)} = \gcd{(b, a)}$，$\gcd{(a, b)} = \gcd{(a, b - a)}$，$\gcd{(a, b, c)} = \gcd{(\gcd{(a, b)}, c)}$，有 $$\begin{align*} \gcd{(a, b, c, d)} &= \gcd{(a, b - a, c, d)} \\ &= \gcd{(a, b - a, c - b + a, d)} \\  &= \gcd{(a, b - a, c - b, d)} \\ &= \gcd{(a, b - a, c - b, d - c + b)} \\ &= \gcd{(a, b - a, c - b, d - c + a)} \\ &= \gcd{(a, b - a, c - b, d - c)} \end{align*}$$

　　可以归纳证明多个变量的情况。

　　因此可以用线段树来维护一个差分序列，这样区间修改就可以变成单点修改了，在维护区间最大公约数的同时再维护一个区间和。当查询区间$[l, r]$，就是求$\gcd{(a_{l}, a_{l+1} - a_{l}, \ldots, a_{r} - a_{r - 1})}$，$a_{l}$可以用维护的区间和得到，$\gcd{(a_{l+1} - a_{l}, \ldots, a_{r} - a_{r - 1})}$可以用维护的区间最大公约数得到。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 5e5 + 10;

LL a[N];
struct Node {
    int l, r;
    LL s, d;
}tr[N * 4];

LL gcd(LL a, LL b) {
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void build(int u, int l, int r) {
    if (l == r) {
        tr[u] = {l, r, a[l] - a[l - 1], a[l] - a[l - 1]};   // 维护的是差分序列
    }
    else {
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        tr[u] = {l, r, tr[u << 1].s + tr[u << 1 | 1].s, gcd(tr[u << 1].d, tr[u << 1 | 1].d)};
    }
}

void modify(int u, int x, LL c) {
    if (tr[u].l == x && tr[u].r == x) {
        tr[u].s += c, tr[u].d += c;
    }
    else {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (x <= mid) modify(u << 1, x, c);
        else modify(u << 1 | 1, x, c);
        tr[u].s = tr[u << 1].s + tr[u << 1 | 1].s;
        tr[u].d = gcd(tr[u << 1].d, tr[u << 1 | 1].d);
    }
}

Node query(int u, int l, int r) {
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u];
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if (r <= mid) {
        return query(u << 1, l, r);
    }
    else if (l >= mid + 1) {
        return query(u << 1 | 1, l, r);
    }
    else {
        Node t1 = query(u << 1, l, r), t2 = query(u << 1 | 1, l, r);
        return {l, r, t1.s + t2.s, gcd(t1.d, t2.d)};
    }
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", a + i);
    }
    build(1, 1, n + 1);
    while (m--) {
        char op[5];
        int l, r;
        scanf("%s %d %d", op, &l, &r);
        if (op[0] == 'C') {
            LL c;
            scanf("%lld", &c);
            modify(1, l, c), modify(1, r + 1, -c);
        }
        else {
            LL d = abs(query(1, 1, l).s);   // a[l]通过差分序列的前缀和求得
            if (l + 1 <= r) printf("%lld\n", abs(gcd(d, query(1, l + 1, r).d)));    // 当l+1 <= r才存在剩余部分的最大公约数
            else printf("%lld\n", d);
        }
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 246. 区间最大公约数（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/650/