三元组

三元组

给定 $n$ 个两两不同的正整数 $a_1,a_2, \dots ,a_n$。

请你计算共有多少个三元组 $(i,j,k)$ 能够同时满足：

1. $i<j<k$
2. $a_i>a_j>a_k$

输入格式

第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2, \dots ,a_n$。

输出格式

一个整数，表示满足条件的三元组数量。

数据范围

前 $4$ 个测试点满足 $3 \leq n \leq 4$。
所有测试点满足 $3 \leq n \leq {10}^{6}$，$1 \leq a_i \leq {10}^{9}$。

输入样例1：

3
3 2 1

输出样例1：

1

输入样例2：

3
2 3 1

输出样例2：

0

输入样例3：

4
10 8 3 1

输出样例3：

4

输入样例4：

4
1 5 4 3

输出样例4：

1

 

解题思路

　　先说一下当时比赛的思路，貌似有点复杂。当时想到的是先把问题规模缩小，只考虑两个数的情况。枚举每一个数，看看前面有多少个数大于当前的数，这个可以用树状数组来实现，对于第$i$个数$a_i$，前面（$1 \sim i - 1$）比$a_i$大的数有$cnt[i]$个。

　　现在两个数的情况知道了，求三元组也是一样，枚举每一个数，然后看看前面有多少个数大于当前数，不过这里不再是加上比当前数要大的数的个数了，而是应该加上这些数所对应的$cnt$，因为求的是三元组。也是用树状数组来实现，不过每次动态加的数不再是$1$，而是$cnt[i]$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N];
int cnt[N];
LL tr[N];
int xs[N], sz;

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= sz; i += lowbit(i)) {
        tr[i] += c;
    }
}

LL query(LL x) {
    LL ret = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) {
        ret += tr[i];
    }
    return ret;
}

int find(int x) {
    int l = 1, r = sz;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (xs[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
        xs[++sz] = a[i];
    }
    
    sort(xs + 1, xs + sz + 1);
    // sz = unique(xs + 1, xs + sz + 1) - xs - 1;   // 可以省去，因为题目保证每个数都不同
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t = find(a[i]);
        cnt[i] += i - 1 - query(t); // 求大于a[i]的数的个数
        add(t, 1);  // 加1，这里求的是二元组
    }
    
    LL ret = 0, s = 0;
    memset(tr, 0, sizeof(tr));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t = find(a[i]);
        ret += s - query(t);    // 求所有大于a[i]的数所对应cnt数组
        s += cnt[i];
        add(t, cnt[i]); // 加cnt[i]，这里求的是三元组
    }
    printf("%lld", ret);
    
    return 0;
}

　　其实不用想得这么麻烦，我们可以枚举$j$，这时就是看看左边有多少个$i$满足$a_i > a_j$，右边有多少个$k$满足$a_k < a_j$。分别用树状数组枚举两次，最后对于第$i$个数左边比它大的个数$l[i]$，右边比它小的个数$r[i]$，那么对于第$i$个数满足条件的三元组个数就是$l[i] \times r[i]$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int a[N];
int xs[N], sz;
int tr[N];
int cnt[N];

int find(int x) {
    int l = 1, r = sz;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (xs[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= sz; i += lowbit(i)) {
        tr[i] += c;
    }
}

int query(int x) {
    int ret = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) {
        ret += tr[i];
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
        xs[++sz] = a[i];
    }
    
    sort(xs + 1, xs + sz + 1);
    // sz = unique(xs + 1, xs + sz + 1) - xs - 1;   // 可以省去，因为题目保证每个数都不同
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t = find(a[i]);
        cnt[i] += i - 1 - query(t);
        add(t, 1);
    }
    
    LL ret = 0;
    memset(tr, 0, sizeof(tr));
    for (int i = n; i; i--) {
        int t = find(a[i]);
        ret += 1ll * cnt[i] * query(t - 1);
        add(t, 1);
    }
    
    printf("%lld", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4709. 三元组（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4505/