买糖果

买糖果

$n$ 个糖果店，围成一圈。

店铺按顺时针顺序从 $1$ 到 $n$ 编号，$n$ 号店铺与 $1$ 号店铺相邻。

第 $i$ 号店铺的单个糖果售价为 $a_i$ 元。

李华拿着 $T$ 元钱去购买糖果，具体购买过程如下：

1. 初始时，他位于 $1$ 号店铺。
2. 如果他现有的钱足够在当前店铺购买一个糖果，他就会立即购买一个糖果，否则他将不会在当前店铺购买糖果。随后，不论他是否在当前店铺购买糖果，他都会按顺时针顺序前往下一个店铺。
3. 他将不断重复过程 $2$，直到剩余的钱在所有店铺都买不起糖果为止。

请问，最终李华一共购买到多少个糖果。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,T$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2, \dots ,a_n$。

输出格式

一个整数，表示一共购买到的糖果数量。

数据范围

前 $6$ 个测试点满足 $1 \leq n \leq 10$。
所有测试点满足 $1 \leq n \leq 2 \times {10}^{5}$，$1 \leq T \leq {10}^{18}$，$1 \leq a_i \leq {10}^{9}$。

输入样例1：

3 38
5 2 5

输出样例1：

10

输入样例2：

5 21
2 4 100 2 6

输出样例2：

6

 

解题思路

　　先暴力枚举算一下走一圈可以买多少糖果，如果某个糖果买不了，当前这圈买不了那么后面每一圈肯定都买不了，因此可以跳过。假设在这一圈里可以买的糖果数量是$cnt$，花费是$sum$，那么只要总钱数$T \geq sum$，那么就可以转一圈买$cnt$个糖果，直到总钱数小于$sum$为止。在总钱数小于$sum$之前每一圈都是一样的，总钱数都是减去$sum$，糖果数量加上$cnt$。一共可以转$\left\lfloor \frac{T}{sum} \right\rfloor$圈，那么一共可以买的糖果数量就是$\left\lfloor \frac{T}{sum} \right\rfloor \times cnt$，剩余的钱就是$T \% sum$。

　　每次计算完后都至少有一个糖果店被减去，一共有$n$个糖果店，那么最坏情况下时间复杂度为$O(n^2)$。但事实上时间复杂度为$O(n \cdot \log{T})$。因为每次$sum$都小于等于$T$，即$T$每次取模的数都小于等于$T$，这里就会有个性质，即$T \% sum < \frac{T}{2}$，也就是每转一次$T$至少除以$2$。

　　证明如下。如果$sum > \frac{T}{2}$，那么$T \% sum = T - sum < \frac{T}{2}$，因为此时$T$除以$sum$的商为$1$。而如果$sum \leq \frac{T}{2}$，那么$T \% sum < \frac{T}{2}$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2e5 + 10;

int a[N];

int main() {
    int n;
    LL m;
    scanf("%d %lld", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    
    LL ret = 0;
    while (true) {
        LL cnt = 0, sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (sum + a[i] <= m) {
                cnt++;
                sum += a[i];
            }
        }
        
        if (cnt == 0) break;
        ret += m / sum * cnt;
        m %= sum;
    }
    
    printf("%lld", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4623. 买糖果（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4445/