整数拆分
整数拆分
我们规定 ()表示整数 的除本身之外的最大因数。
例如,,,。
现在,给定一个整数 ,请你将其拆分为 份 (也可以不拆分,即 ),要求:
- 对于 , 始终成立。
- 的值应尽可能小。
输出 的最小可能值。
输入格式
一个整数 。
输出格式
一个整数,表示 的最小可能值。
数据范围
前 个测试点满足 。
所有测试点满足 。
输入样例1:
4
输出样例1:
2
输入样例2:
27
输出样例2:
3
解题思路
如果是质素那么有。
如果是偶数,根据哥德巴赫猜想:“每一个不小于的偶数都是两个奇素数之和”。
- 如果,因为是质数所以有。
- 如果,如果不拆分的话,如果拆分的话则拆成两个,。因此有。
- 如果是大于等于的偶数,因为是偶数因此必然不是质数,因此必然有。又根据哥德巴赫猜想,每一个不小于的偶数都是两个奇素数之和,而每个质数的均是,因此可以取到,即如果是大于等于的偶数则有。
如果既不是质数,也不是偶数,那么是奇合数,因此。如果要取到,意味着可以拆除两个质数的和,又因为是奇数,因此这两个数必然有一个是奇数,另外一个是偶数,且两个数都要是偶数,因此偶数必然取。
- 如果是质数,那么答案就是。
- 如果是合数,那么。如果要拆成个以上的数的和,那么,因为即使是个质数答案也是要大于等于。现在不管是拆成两个数还是三个数以上,答案都是大于等于。根据哥德巴赫猜想,每一个不小于的奇数都是三个奇素数之和,因此是可以取到的。因此如果是合数,那么(,,已经在判断质数的时候被处理了)。
AC代码如下:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 bool is_prime(int x) { 5 for (int i = 2; i <= x / i; i++) { 6 if (x % i == 0) return false; 7 } 8 return true; 9 } 10 11 int main() { 12 int n; 13 cin >> n; 14 if (is_prime(n)) printf("1"); 15 else if (n % 2 == 0 || is_prime(n - 2)) printf("2"); 16 else printf("3"); 17 18 return 0; 19 }
参考资料
AcWing 4622. 整数拆分(AcWing杯 - 周赛):https://www.acwing.com/video/4446/
哥德巴赫猜想:https://hanyu.baidu.com/s?wd=%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B7%B4%E8%B5%AB%E7%8C%9C%E6%83%B3&device=pc&from=home
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