整数拆分

整数拆分

我们规定 $f(x)$（$x \geq 2$）表示整数 $x$ 的除本身之外的最大因数。

例如，$f(6)=3$，$f(25)=5$，$f(2)=1$。

现在，给定一个整数 $n$，请你将其拆分为 $k$ 份 $n_1,n_2, \dots ,n_k$（也可以不拆分，即 $k=1$），要求：

• $n_1+n_2+ \dots +n_k=n$
• 对于 $1 \leq i \leq k$，$n_i \geq 2$ 始终成立。
• $f(n_1)+f(n_2)+ \dots +f(n_k)$ 的值应尽可能小。

输出 $f(n_1)+f(n_2)+ \dots +f(n_k)$ 的最小可能值。

输入格式

一个整数 $n$。

输出格式

一个整数，表示 $f(n_1)+f(n_2)+ \dots +f(n_k)$ 的最小可能值。

数据范围

前 $4$ 个测试点满足 $2 \leq n \leq 30$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq 2 \times {10}^{9}$。

输入样例1：

4

输出样例1：

2

输入样例2：

27

输出样例2：

3

 

解题思路

　　如果$n$是质素那么有$f(n) = 1$。

　　如果$n$是偶数，根据哥德巴赫猜想：“每一个不小于$6$的偶数都是两个奇素数之和”。

• 如果$n=2$，因为$2$是质数所以有$f(2) = 1$。
• 如果$n = 4$，如果不拆分的话$f(4) = 2$，如果拆分的话则拆成两个$2$，$f(2)+f(2) = 2$。因此有$f(4) = 2$。
• 如果$n$是大于等于$6$的偶数，因为$n$是偶数因此必然不是质数，因此必然有$f(n) \geq 2$。又根据哥德巴赫猜想，每一个不小于$6$的偶数都是两个奇素数之和，而每个质数的$f$均是$1$，因此可以取到$2$，即如果$n$是大于等于$6$的偶数则有$f(n) = 2$。

　　如果$n$既不是质数，也不是偶数，那么$n$是奇合数，因此$f(n) \geq 2$。如果要取到$2$，意味着可以拆除两个质数的和，又因为$n$是奇数，因此这两个数必然有一个是奇数，另外一个是偶数，且两个数都要是偶数，因此偶数必然取$2$。

• 如果$n-2$是质数，那么答案就是$2$。
• 如果$n-2$是合数，那么$f(n) \geq 3$。如果$n$要拆成$3$个以上的数的和，那么$f(n) \geq 3$，因为即使是$3$个质数答案也是要大于等于$3$。现在不管是拆成两个数还是三个数以上，答案都是大于等于$3$。根据哥德巴赫猜想，每一个不小于$9$的奇数都是三个奇素数之和，因此$3$是可以取到的。因此如果$n-2$是合数，那么$f(n) = 3$（$3$，$5$，$7$已经在判断质数的时候被处理了）。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

bool is_prime(int x) {
    for (int i = 2; i <= x / i; i++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    if (is_prime(n)) printf("1");
    else if (n % 2 == 0 || is_prime(n - 2)) printf("2");
    else printf("3");
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4622. 整数拆分（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4446/

　　哥德巴赫猜想：https://hanyu.baidu.com/s?wd=%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B7%B4%E8%B5%AB%E7%8C%9C%E6%83%B3&device=pc&from=home