解方程
解方程
给定一个非负整数 ,请你计算方程 的非负整数解的数量。
其中 指按位异或。
输入格式
第一行包含整数 ,表示共有 组测试数据。
每组数据占一行,包含一个非负整数 。
输出格式
每组数据输出一行结果,一个整数,表示方程的非负整数解的数量。
可以证明方程的非负整数解数量总是有限的。
数据范围
前 个测试点满足 。
所有测试点满足 ,。
输入样例:
3 0 2 1073741823
输出样例:
1 2 1073741824
解题思路
这题可以根据样例来找出规律,假设在二进制下有位,那么答案就是。
比如样例中的,有个,那么答案就是。
把题目中的等式变换一下,有。考虑的二进制所有位都是的情况,那么对于的任意一位无论是还是,做减法时都不会向前借位,因此任意两个位都是相互独立的。再来看一下,如果的某一位为,那么与相应的位做减法后该位为,异或运算得到的也是。如果的某一位为,那么与相应的位做减法后该位为,异或运算得到的也是。因此当的所有位均为时,的任意一位都可以取或,因此有种(是在二进制下的位数)。
如果在二进制下的位数不全为,那么从低位向高位看,如果最低位为,那么在最低位取和取在减法和异或运算后该位得到的结果是一样的。接着从的低位往高位看,找到第一个,此时在这一位取是可以的,在减法和异或运算后得到的结果都是。如果取,对于减法运算一定会往高位借位,即往高位数的第一个借位,假设这一个位是第位,此时如果的第取,那么借位后的第位变成,做减法后得到,而异或运算得到的结果是(的第位为,的第位为)。而如果的第取,做减法后得到,异或运算得到的结果是(的第位为,的第位为)。因此对于中为的位在该位不能填,只能填,而中为的位在该位能填或且各个位相互独立,因此答案就是。
AC代码如下:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 int main() { 5 int tot; 6 cin >> tot; 7 while (tot--) { 8 int n; 9 cin >> n; 10 int cnt = 0; 11 while (n) { 12 cnt += n & 1; 13 n >>= 1; 14 } 15 cout << (1 << cnt) << '\n'; 16 } 17 18 return 0; 19 }
参考资料
AcWing 4617. 解方程(AcWing杯 - 周赛):https://www.acwing.com/video/4355/
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