解方程

解方程

给定一个非负整数 $a$，请你计算方程 $a−(a \oplus x)−x=0$ 的非负整数解的数量。

其中 $\oplus$ 指按位异或。

输入格式

第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

每组数据占一行，包含一个非负整数 $a$。

输出格式

每组数据输出一行结果，一个整数，表示方程的非负整数解的数量。

可以证明方程的非负整数解数量总是有限的。

数据范围

前 $3$ 个测试点满足 $1 \leq T \leq 3$。
所有测试点满足 $1 \leq T \leq 1000$，$0 \leq a \leq {2}^{30}−1$。

输入样例：

3
0
2
1073741823

输出样例：

1
2
1073741824

 

解题思路

　　这题可以根据样例来找出规律，假设$a$在二进制下有$t$位$1$，那么答案就是$2^t$。

　　比如样例中的$1073741823 = {(111111111111111111111111111111)}_2$，有$30$个$1$，那么答案就是$2^{30} = 1073741824$。

　　把题目中的等式变换一下，有$a - x = a \oplus x$。考虑$a$的二进制所有位都是$1$的情况，那么对于$x$的任意一位无论是$0$还是$1$，做减法时都不会向前借位，因此任意两个位都是相互独立的。再来看一下，如果$x$的某一位为$0$，那么与$a$相应的位做减法后该位为$1$，异或运算得到的也是$1$。如果$x$的某一位为$1$，那么与$a$相应的位做减法后该位为$0$，异或运算得到的也是$0$。因此当$a$的所有位均为$1$时，$x$的任意一位都可以取$0$或$1$，因此$x$有$2^t$种（$t$是$a$在二进制下$1$的位数）。

　　如果$a$在二进制下的位数不全为$1$，那么从低位向高位看，如果最低位为$1$，那么$x$在最低位取$0$和取$1$在减法和异或运算后该位得到的结果是一样的。接着从$a$的低位往高位看，找到第一个$0$，此时$x$在这一位取$0$是可以的，在减法和异或运算后得到的结果都是$0$。如果取$1$，对于减法运算一定会往高位借位，即往高位数的第一个$1$借位，假设这一个位是第$k$位，此时如果$x$的第$k$取$0$，那么借位后$a$的第$k$位变成$0$，做减法后得到$0$，而异或运算得到的结果是$1$（$a$的第$k$位为$1$，$x$的第$k$位为$0$）。而如果$x$的第$k$取$1$，做减法后得到$1$，异或运算得到的结果是$0$（$a$的第$k$位为$1$，$x$的第$k$位为$1$）。因此对于$a$中为$0$的位$x$在该位不能填$1$，只能填$0$，而$a$中为$1$的位$x$在该位能填$0$或$1$且各个位相互独立，因此答案就是$2^t$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int tot;
    cin >> tot;
    while (tot--) {
        int n;
        cin >> n;
        int cnt = 0;
        while (n) {
            cnt += n & 1;
            n >>= 1;
        }
        cout << (1 << cnt) << '\n';
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4617. 解方程（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4355/