匹配价值

匹配价值

给定一个字符串集合 $S$，$S$ 中包含 $m$ 个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串，集合中可能包含重复元素。

给定一个长度为 $n$ 的整数序列 $w_1,w_2, \dots ,w_n$。

关于两个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串 $s,t$ 的匹配价值 $V$，其具体计算方法如下：

• 设字符串 $s$ 的各位字符从左到右依次为 $s_1,s_2, \dots ,s_n$。
• 设字符串 $t$ 的各位字符从左到右依次为 $t_1,t_2, \dots ,t_n$。
• 初始时，$V=0$。
• 对于所有 $i(1 \leq i \leq n)$，如果 $s_i=t_i$，则 $V$ 加上 $w_i$。
• 最终得到的 $V$ 即为两字符串的匹配价值。

现在，给定 $q$ 个询问，每个询问包含一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串 $t$ 以及一个整数 $k$，具体询问内容为：请你计算并输出集合 $S$ 中有多少个元素满足，与给定字符串 $t$ 的匹配价值不大于 $k$。

注意，如果集合中多个相同的元素均满足询问条件，则每个元素均应被计数。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,q$。

第二行包含 $n$ 个整数 $w_1,w_2, \dots ,w_n$。

接下来 $m$ 行，每行包含一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串，表示集合 $S$ 中的一个元素。

最后 $q$ 行，每行包含一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串 $t$ 和一个整数 $k$，表示一个询问。

输出格式

每个询问输出一行答案，一个整数，表示满足询问条件的元素个数。

数据范围

前 $3$ 个测试点满足 $1 \leq m,q \leq 5$。
所有测试点满足 $1 \leq n \leq 12$，$1 \leq m,q \leq 5 \times {10}^{5}$，$0 \leq w_i \leq 100$，$0 \leq k \leq 100$。

输入样例1：

2 4 5
40 20
01
01
10
11
00 20
00 40
11 20
11 40
11 60

输出样例1：

2
4
2
3
4

输入样例2：

1 2 4
100
0
1
0 0
0 100
1 0
1 100

输出样例2：

1
2
1
2

 

解题思路

　　这题思路是预处理。可以发现直接暴力的话肯定会超时，暴力枚举是为了在集合中统计与字符串匹配权值不超过$k$的个数，因此可以想到把枚举的过程进行预处理，查询的时候就可以控制到$O(1)$。

　　$01$字符串的最大长度为$12$，因此最多有$2^{12}$种不同的字符串，可以预处理两两配对的情况，一共有$2^{24}$种情况，这个计算量是可以过的，因此可以先预处理出这$2^{24}$种情况，然后算一下每种情况对应的权值是多少。同时在询问的时候权值是不超过$100$的，只有当计算的权值不超过$100$时才记录下来，因此开一个数组$s[i,j]$表示输入的字符串是$i$，权值为$j$时，集合中与$i$匹配的字符串个数。因为询问求的是权值不超过$k$的情况，因此预处理完后还需要对$s$数组求前缀和。

　　在字符串进行匹配求权值时用位运算，就可以把这部分的计算量优化到$O(1)$。如果有$01$串$a$和$b$，为了求$a$和$b$中有哪些位是相同的，可以先异或再对结果按位取反，即$\sim (a \wedge b)$，因为$01$串的位数不是固定$32$位，这个结果会使得高位全是$1$，因此事实上应该是$a \wedge b \wedge ((1 << n)-1)$，其中$n$是$01$串的位数。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1 << 12, M = 110;

int n, m, k;
int w[12], mp[N];
int cnt[N];
int s[N][M];

int get(char *str) {
    int st = 0;
    // 原字符串低位在前高位在后，转换后01串后低位在后高位在前，因此需要反过来处理
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        st = st << 1 | str[i] - '0';
    }
    return st;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", w + i);
    }
    for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {  // 预处理2^n种情况对应的权值
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (i >> j & 1) mp[i] += w[j];
        }
    }
    
    while (m--) {
        char str[15];
        scanf("%s", str);
        cnt[get(str)]++;    // 统计集合中该字符串出现的次数
    }
    
    for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {      // i是询问的字符串
        for (int j = 0; j < 1 << n; j++) {  // j是集合中的字符串
            int t = i ^ j ^ (1 << n) - 1;   // 求i和j相同的位
            if (mp[t] <= 100) s[i][mp[t]] += cnt[j];    // 如果权值不超过100就累加集合中j的次数(如果不存在j则为0)
        }
    }
    
    for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {  // 求前缀和
        for (int j = 1; j <= 100; j++) {
            s[i][j] += s[i][j - 1];
        }
    }
    
    while (k--) {
        char str[15];
        int t;
        scanf("%s %d", str, &t);
        printf("%d\n", s[get(str)][t]);
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4614. 匹配价值（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4317/