【转载】论递归算法的数学原理

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　　想必很多同学在接触递归算法的时候都会很困惑，比如归并排序，为什么下面的代码可以将一个序列排好序呢？

　　今天突然发现，递归过程的本质就是数学归纳法！我们再刨根问底一下，数学归纳法的正确性又源自于什么呢？答案就是：数学归纳法是一个公理，只有满足数学归纳法的数集才是我们平时用到的自然数集！

　　所以，递归过程的正确性是个公理！这也是为什么我们对递归很困惑的原因了。

　　接下来以归并排序为例，我们用数学归纳法来证明其正确性。

　　首先当序列长度小于等于1的时候，序列有序，成立。

　　假设对于任意序列长度小于$n$的序列， merge_sort(l, r) 都能将序列排好序。

　　那么我们证明对于任意序列长度等于$n$的序列， merge_sort(l, r) 也可以将序列排好序。

　　我们再来看 merge_sort 这个函数：

　　图中红色框起来的部分，根据归纳假设， [l, mid] 和 [mid + 1, r] 的长度都小于$n$，所以 merge_sort 函数可以将其排好序。

　　然后左右两个有序序列，通过二路归并算法，就可以合并成一个有序序列了，因此对于当前长度为$n$的区间， merge_sort 也可以将其排好序。证毕。

　　所以对于任意自然数长度的区间， merge_sort() 都可以将其排好序。