列表排序

列表排序

给定一个 $n$ 行 $m$ 列的整数列表。

列表中每一行的 $m$ 个整数都是一个 $1 \sim m$ 的排列。

现在，你可以对该列表执行以下两种操作：

• 选择一行中的两个整数并交换它们。此操作，每行最多只能执行一次。
• 选择列表中的两列并交换它们。此操作，最多只能执行一次。

不难发现，你最多可以进行 $n+1$ 次操作，最少可以进行 $0$ 次操作，所有操作的具体执行顺序随意。

我们的目标是，通过执行上述操作，使得最终列表中每一行的 $m$ 个整数都能按照 $1,2, \dots ,m$ 的顺序排列。

请你判断，目标是否能够达成。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,m$。

接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，用来表示整数列表。保证每行的 $m$ 个整数都是一个 $1 \sim m$ 的排列。

输出格式

如果目标能够达成，则输出 YES ，否则输出 NO 。

数据范围

前 $6$ 个测试点满足 $1 \leq n,m \leq 10$。
所有测试点满足 $1 \leq n,m \leq 20$。

输入样例1：

2 4
1 3 2 4
1 3 4 2

输出样例1：

YES

输入样例2：

4 4
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3

输出样例2：

NO

输入样例3：

3 6
2 1 3 4 5 6
1 2 4 3 5 6
1 2 3 4 6 5

输出样例3：

YES

 

解题思路

　　当时比赛时这题想了好久，花了快半个钟才AC了。比赛时候的思路是，因为每一行中交换两个数的操作只有一次，再加上只有一次的两列互换操作，因此每一行中最多只能交换两次数字。然后又想到交换两列是对所有行都产生影响，数据范围也很小，因此想到先枚举交换哪两列，然后再判断每一行能否只用不超过一次的操作使得这行变升序序列。

　　下面是y总的思路。如果只有第一种操作而没有第二种操作，意味着每行最多只交换一次，交换完后变成$1 \sim n$的排列。如何判断序列能否最多交换一次变成升序呢，将当前序列与$1 \sim n$的排列进行对比，看看有几个位置不一样。如果恰好只有两个位置不一样，那么只需要交换这两个不一样的位置就可以变成升序序列了。而如果不同的位置超过两个，因为一次交换最多改变两个位置，因此必然不能只通过一次操作变成升序序列。

　　如果加上第二种操作就不好处理。但可以发现数据范围很小，第二种操作只有$C_{m}^{2} + 1$种（$+1$是指不交换的情况），因此可以枚举一下第二种操作，然后用上面的方法判断每一行。列操作与每行间的操作的执行先后顺序不影响结果。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 30;

int n, m;
int g[N][N];

bool check() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int cnt = 0;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (g[i][j] != j) cnt++;
        }
        if (cnt > 2) return false;
    }
    
    return true;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &g[i][j]);
        }
    }
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {  // j == i 表示不交换两列的情况
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                swap(g[k][i], g[k][j]);
            }
            if (check()) {
                printf("YES");
                return 0;
            }
            for (int k = 1; k <= n; k++) {
                swap(g[k][i], g[k][j]);
            }
        }
    }
    
    printf("NO");
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4610. 列表排序（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4298/