石子合并

石子合并

设有 $N$ 堆石子排成一排，其编号为 $1,2,3, \dots ,N$。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 $N$ 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 $4$ 堆石子分别为 1 3 5 2 ， 我们可以先合并 $1$、$2$ 堆，代价为 $4$，得到 4 5 2 ， 又合并 $1$，$2$ 堆，代价为 $9$，得到 9 2  ，再合并得到 $11$，总代价为 $4+9+11=24$；

如果第二步是先合并 $2$，$3$ 堆，则代价为 $7$，得到 4 7 ，最后一次合并代价为 $11$，总代价为 $4+7+11=22$。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 $N$。

第二行 $N$ 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 $1000$)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1 \leq N \leq 300$

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

 

解题思路

　　区间dp。之前一直不知道什么时候用区间dp，经过一段时间后现在慢慢有点思路了。

　　什么时候可以用区间dp呢？当一个问题可以分成两个部分（也可以是多个部分，下面都以两个部分的情况为例）来求解得到，且这两个部分的求解是相互独立的，也就是求解这一部分的结果并不会对另一部分的结果产生影响。同时这两个部分可以看作是相对于原问题规模更小的问题。因此如果要求整个问题的最大值，那么就分别求这两个部分的最大值，原问题的答案就是这两个部分的最大值之和。

　　因此区间dp可以理解为分治加上记忆化搜索。

　　以这一题为例，原问题就是求将$1 \sim n$的石子合并成一堆所需要的最小代价。每一次的合并都是将两堆石子合并成一堆，这启示我们一开始可以把整堆石子分成两大堆，根据两堆石子的边界进行划分，得到下面的集合划分：

　　一共有$n-1$种划分的方式。并且任意两堆之间的求解是相互独立的。可以发现要合并$1 \sim n$这$n$堆石子，就是把划分得到的两大堆石子合并，这也是合并的最后一步，就会得到将所有石子合并成一堆的结果。因此答案就是枚举每个集合，看一下哪种划分方式得到的答案最小。那么如何求每个集合的最小值呢？与合并$n$堆石子一样，对这两堆的石子分别用同样的方式划分成两堆，然后枚举各个集合取最小值。

　　定义状态$f(i,j)$表示所有将第$i$堆石子到第$j$堆石子合并成一堆石子的合并方式的集合。根据两堆石子的边界进行集合划分，因此状态转移方程就是$$f(i, j) = \min_{i \leq k < j} \{ {f(i,k) + f(k + 1, j) + s_{j} - s_{i - 1}} \}$$

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 310;

int s[N];
int f[N][N];

int dp(int l, int r) {
    if (f[l][r] != 0x3f3f3f3f) return f[l][r];
    if (l == r) return f[l][r] = 0;
    
    for (int k = l; k < r; k++) {
        f[l][r] = min(f[l][r], dp(l, k) + dp(k + 1, r) + s[r] - s[l - 1]);
    }
    
    return f[l][r];
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", s + i);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    
    printf("%d", dp(1, n));
    
    return 0;
}

　　上面的代码是记忆化搜索来实现的，更为直观。也可以写成循环迭代的：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 310;

int s[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", s + i);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    for (int len = 1; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
            int j = i + len - 1;
            if (len == 1) { // 区间长度为1的情况要特判
                f[i][j] = 0;
            }
            else {
                for (int k = i; k < j; k++) {
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
                }
            }
        }
    }
    
    printf("%d", f[1][n]);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 282. 石子合并（算法基础课）：https://www.acwing.com/video/319/