Subarray With Elements Greater Than Varying Threshold

Subarray With Elements Greater Than Varying Threshold

You are given an integer array $nums$ and an integer $threshold$.

Find any subarray of $nums$ of length $k$ such that every element in the subarray is greater than $threshold / k$.

Return the size of any such subarray. If there is no such subarray, return $-1$.

A subarray is a contiguous non-empty sequence of elements within an array.

Example 1:

Input: nums = [1,3,4,3,1], threshold = 6
Output: 3
Explanation: The subarray [3,4,3] has a size of 3, and every element is greater than 6 / 3 = 2.
Note that this is the only valid subarray.

Example 2:

Input: nums = [6,5,6,5,8], threshold = 7
Output: 1
Explanation: The subarray [8] has a size of 1, and 8 > 7 / 1 = 7. So 1 is returned.
Note that the subarray [6,5] has a size of 2, and every element is greater than 7 / 2 = 3.5. 
Similarly, the subarrays [6,5,6], [6,5,6,5], [6,5,6,5,8] also satisfy the given conditions.
Therefore, 2, 3, 4, or 5 may also be returned.

Constraints:

$1 \leq nums.length \leq {10}^{5}$
$1 \leq nums[i], threshold \leq {10}^9$

 

解题思路

　　因为$k$的取值范围是$1 \sim n$，因此可以枚举$k$。这里不可以用二分，因为不具有二段性。

　　从小到大枚举$k$，那么随着$k$的增大，$\frac{T}{k}$会逐渐减小，因此满足要求的数会逐渐增多。在增大$k$的过程中，如果发现某个数满足$nums[i] > \frac{T}{k}$，那么就把它标记出来，$i$为这个数的下标，这里的标记是指在数轴$i$这个位置打个标记，表示这个位置上有数，一开始这个数轴是空的。因此每次增加$k$的值，就逐渐会有满足要求的数加进数轴，数轴上加进来的数越来越多。每加入一个数，就判断与这个数相连的连续一段数的个数是否大于等于$k$就好了。

　　因此我们需要找个数据结构来实现我们的操作。一开始区间（数轴）是空的，每次往里面添加一个元素，添加元素之后维护包括当前元素所在的连续被标记过的区间长度（如上图），看一下区间的长度是多少。我们可以用并查集来实现，不过这个并查集与一般的并查集不一样。

　　参考修改数组。一开始所有元素都没有被标记，因此并查集初始化时每个元素都指向自己。如果某个元素被标记了，那么这个元素就指向它的下一个位置的元素。因此每个集合中除了根节点（代表元素）外，其余的元素都是被标记过的（根元素指向自己因此没被标记）。还需要维护每个集合的大小，因此每个集合中被标记的元素个数就是当前集合的大小减去$1$。

　　另外，因为我们是从小到大去枚举$k$，因此为了快速知道哪些数满足$nums[i] > \frac{T}{k}$（元素都是从大到小添加进来的），我们先对数组进行降序排序（数值和对应的下标进行排序，实际上我们只用到排序后这个数在原数组中的下标是多少）。

　　AC代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> fa, idx, cnt;

    int find(int x) {
        return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
    }

    int validSubarraySize(vector<int>& nums, int threshold) {
        int n = nums.size();
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            fa.push_back(i);
            idx.push_back(i);   // idx记录每个数在原始数组中的下标
            cnt.push_back(1);
        }

        idx.pop_back(); // 把下标n弹出
        sort(idx.begin(), idx.end(), [&](int a, int b) {    // 根据原始数组中每个数的数值从大到小排序，最后idx就得到排序后每个数在原始数组中的下标位置
            return nums[a] > nums[b];
        });

        for (int k = 1, i = 0; k <= n; k++) {
            while (i < n && nums[idx[i]] > threshold / k) {
                // idx[i]表示元素数组的的下标，idx[i]+1表示这个元素在原始数组的下标的下一个位置
                cnt[find(idx[i] + 1)] += cnt[idx[i]];
                fa[idx[i]] = find(idx[i] + 1);  // 当前元素指向下一个位置的元素
                if (cnt[find(idx[i])] - 1 >= k) return k;
                i++;
            }
        }

        return -1;
    }
};

　　其实不用这种并查集也是可以的。本质上是往区间加入一个元素，然后对这个元素左右两边的区间进行合并（如果可以合并的话），然后再求合并后的新的区间的长度，也就是动态维护连续的区间。用普通并查集也是可以做的。

　　AC代码如下：

class Solution {
public:
    vector<int> fa, idx, cnt;

    int find(int x) {
        return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
    }

    int validSubarraySize(vector<int>& nums, int threshold) {
        int n = nums.size();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            fa.push_back(i);
            idx.push_back(i);
            cnt.push_back(0);   // 这里初始化为0是为了方便表示当前元这个素还没有被标记
        }

        sort(idx.begin(), idx.end(), [&](int a, int b) {
            return nums[a] > nums[b];
        });

        for (int k = 1, i = 0; k <= n; k++) {
            while (i < n && nums[idx[i]] > threshold / k) {
                cnt[idx[i]] = 1;    // 当前元素被标记，赋值为1
                if (idx[i] - 1 >= 0 && cnt[find(idx[i] - 1)]) { // 左边的元素所在区间已被标记，就把左边的集合与新元素合并
                    cnt[idx[i]] += cnt[find(idx[i] - 1)];
                    fa[find(idx[i] - 1)] = idx[i];
                }
                if (idx[i] + 1 < n && cnt[find(idx[i] + 1)]) {  // 右边的元素所在区间已被标记，就把右边的集合与新元素合并
                    cnt[idx[i]] += cnt[find(idx[i] + 1)];
                    fa[find(idx[i] + 1)] = idx[i];
                }
                if (cnt[idx[i]] >= k) return k;
                i++;
            }
        }

        return -1;
    }
};

 

参考资料

　　出题人表示，就是要深夜搞你们心态！力扣第82场双周赛：https://www.bilibili.com/video/BV1s94y197XG

　　C++匿名函数：https://www.cnblogs.com/Brickert/p/13164291.html