整数分组

整数分组

给定一个包含 $n$ 个整数 $s_1,s_2, \dots ,s_n$ 的集合 $S$。

我们规定，如果某个整数在一个集合中恰好出现一次，则称该整数为超级数。

例如，集合 $\{1,1,2,3,3,3,4\}$ 中包含两个超级数 $2,4$。

现在，请你将 $S$ 分成两个集合 $A$ 和 $B$（其中一个可以为空），使得集合 $A$ 中超级数的数量与集合 $B$ 中超级数的数量相同（也就是说，集合 $A$ 中恰好出现一次的整数的数量与集合 $B$ 中恰好出现一次的整数的数量相同）。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数 $s_1,s_2, \dots ,s_n$。

输出格式

如果不存在合理的划分方案，则输出一行 NO 。

否则，第一行输出 YES ，第二行输出一个长度为 $n$ 的由 A 和 B 构成的字符串，其中的第 $i$ 个字符，如果为 A 则表示 $s_i$ 划分到集合 $A$，如果为 B 则表示 $s_i$ 划分到集合 $B$。

如果方案不唯一，输出任意合理方案均可。

数据范围

前 $6$ 个测试点满足 $2 \leq n \leq 12$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq 100$，$1 \leq s_i \leq 100$。

输入样例1：

4
3 5 7 1

输出样例1：

YES
BABA

输入样例2：

3
3 5 1

输出样例2：

NO

 

解题思路

　　这题还是比较容易想到的，不过比赛的时候比较紧张，代码写得又长又臭。这一题的细节还是比较多的。

　　先扫描一遍序列，统计只出现过一次的数的个数，假设是$k$，分情况讨论：

1. $2 \mid k$，那么两个集合每个都分$\frac{k}{2}$个就可以了，剩余数的出现次数都大于$1$，可以将他们全部放到$A$或$B$中。最后就可以实现两个集合的超级数的数量都是$\frac{k}{2}$。
2. $2 \nmid k$，那么一个集合分$\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor$个，另外一个集合分$\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor + 1$个。然后看一下剩余的数，如果某个数$x$出现了$2$次，那么无论怎么放$x$，都不能使得某个集合的超级数个数增加$1$个（全部$x$放到某个集合或两个集合各放一个$x$），因此如果某个数出现了$2$次那么这个数没有意义。如果某个数$x$出现超过$2$次，那么把一个$x$放到某个集合中，剩余的$x$都放到另外一个集合中，那么就可以使得只放一个$x$的那个集合的超级数个数加$1$。因此如果$k$是奇数，分完了超级数后某个集合的超级数个数少了一个，此时如果存在某个数的出现次数大于$2$，那么都可以构造一个合法方案，而如果剩余数的出现次数都是$2$的话则无解。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

vector<int> p[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        p[x].push_back(i);
    }
    
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        if (p[i].size() == 1) cnt++;    // 统计出现次数为1的数的个数
    }
    
    string ret(n, 'A'); // 初始化每个数都在集合A中
    for (int i = 0, k = 0; i < N; i++) {
        if (p[i].size() == 1 && k < cnt >> 1) { // 前k/2个数放到集合B中，如果cnt是奇数那么最后集合B的超级数比A少1
            ret[p[i][0]] = 'B';
            k++;
        }
    }
    
    bool flag = true;
    if (cnt & 1) {  // 超级数的个数为奇数
        flag = false;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            if (p[i].size() > 2) {  // 找到某个数的出现次数大于2
                ret[p[i][0]] = 'B'; // 取第一个数放到集合B中，剩余的都放到集合A
                flag = true;
                break;
            }
        }
    }
    
    if (flag) cout << "YES\n" << ret;
    else cout << "NO";
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4608. 整数分组（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4274/