吃水果

吃水果

$n$ 个小朋友站成一排，等着吃水果。

一共有 $m$ 种水果，每种水果的数量都足够多。

现在，要给每个小朋友都发一个水果，要求：在所有小朋友都拿到水果后，恰好有 $k$ 个小朋友拿到的水果和其左边相邻小朋友拿到的水果不同（最左边的小朋友当然不算数，即最左边的小朋友不包含在 $k$ 个小朋友内）。

请你计算，一共有多少种不同的分发水果的方案。

输入格式

一行，三个整数 $n,m,k$。

输出格式

一个整数，表示合理的分发水果的方案总数量对 $998244353$ 取模后的结果。

数据范围

前 $5$ 个测试点满足 $1 \leq n,m \leq 5$。
所有测试点满足 $1 \leq n,m \leq 2000，0 \leq k \leq n−1$。

输入样例1：

3 3 0

输出样例1：

3

输入样例2：

3 2 1

输出样例2：

2

 

解题思路

　　求方案数，想到用动态规划。一开始定义的状态是$f(i,j,k)$，表示为前$i$个人分配好水果，且第$i$个人分配到水果$j$，且一共有$k$个人的水果与左边的人不一样。状态转移方程就是$$f(i,j,k) = f(i-1,j,k) + \sum\limits_{u=1 ~\&\&~ u \ne j}^{m}{{f(i-1,u,k-1)}}$$

　　这样做应该是没什么问题的，但很明显这种做法必定会超时，因为状态转移的时间复杂度为$O(n \cdot m^2 \cdot k)$。

　　事实上可以把第二维的状态给优化掉，定义状态$f(i,j)$表示前$i$个人中恰好有$j$个人拿到的水果与左边的人不一样。根据第$i$个人拿到的水果与左边第$i-1$个人是否相同来进行状态划分，状态转移方程用到了组合计数$$f(i,j) = f(i-1,j) + f(i-1,j-1) \times (m-1)$$

　　对于第$i$个人拿到的水果与左边第$i-1$个人相同这种情况，意味着前$i-1$个人中恰好有$j$个人拿到的水果与左边的人不一样，对应的方案是$f(i-1,j)$。又因为第$i$个人与第$i-1$个人相同，因此这个集合方案数为$f(i-1,j) \times 1 = f(i-1,j)$。

　　对于第$i$个人拿到的水果与左边第$i-1$个人不相同这种情况，意味着前$i-1$个人中恰好有$j-1$个人拿到的水果与左边的人不一样，对应的方案是$f(i-1,j-1)$。对于前面任何一种方案固定之后（指前$i-1$个人有$j-1$个不同），因为第$i$个人与第$i-1$个人不相同，因此第$i$个人有$m-1$种选法，因此这个集合方案数为$f(i-1,j-1) \times (m-1)$。

　　可以发现$f(i-1,j-1) \times (m-1)$是对原先定义的状态$f(i,j,k)$的$~\sum\limits_{u=1 ~\&\&~ u \ne j}^{m}{f(i-1,u,k-1)~}$的优化。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2010, mod = 998244353;

int f[N][N];

int main() {
    int n, m, k;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    
    f[1][0] = m;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= k && j < i; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j) f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][j - 1] * (m - 1ll)) % mod;
        }
    }
    
    printf("%d", f[n][k]);
    
    return 0;
}

　　还可以通过组合计数来求出答案，答案就是$$C_{n-1}^{k} \times m \times (m-1)^k$$

　　首先由于第一个人不算数，因此我们从后面的$n-1$个人选出$k$个人，这$k$个人与其左边相邻的人拿到的水果不同，因此有$C_{n-1}^{k}$种选法。

　　然后第一个人可以选择$m$种水果。$n-k-1$个人与其左边相邻的人拿到的水果相同，因此只有$1$种选择，即其左边的人拿什么水果这个人就拿什么水果。$k$个人每个人与其左边相邻的人拿到的水果不同，因此有$m-1$种选择，$k$个人就有$(m-1)^k$种选择。

　　最后通过乘法原理得到答案。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 998244353;

int qmi(int a, int k) {
    int ret = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n, m, k;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    int ret = 1ll * m * qmi(m - 1, k) % mod;
    for (int i = 1, j = n - 1; i <= k; i++, j--) {
        ret = 1ll * ret * j % mod * qmi(i, mod - 2) % mod;
    }
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4496. 吃水果（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4128/