序列

序列

给定 $m$ 个序列，每个包含 $n$ 个非负整数。

现在我们可以从每个序列中选择一个数字以形成具有 $m$ 个整数的序列。

很明显，我们一共可以得到 $n^m$ 个这种序列，然后我们可以计算每个序列中的数字之和，并得到 $n^m$ 个值。

现在请你求出这些序列和之中最小的 $n$ 个值。

输入格式

第一行输入一个整数 $T$，代表输入中包含测试用例的数量。

接下来输入 $T$ 组测试用例。

对于每组测试用例，第一行输入两个整数 $m$ 和 $n$。

接下在 $m$ 行输入 $m$ 个整数序列，数列中的整数均不超过 $10000$。

输出格式

对于每组测试用例，均以递增顺序输出最小的 $n$ 个序列和，数值之间用空格隔开。

每组输出占一行。

数据范围

$0 < m \leq 1000$,
$0 < n \leq 2000$

输入样例：

1
2 3
1 2 3
2 2 3

输出样例：

3 3 4

 

解题思路

　　题目就是给定$m$个序列，每个序列的长度都是$n$，然后从每个序列中选出一个数组成一个新序列，求各个新序列的和并输出前$n$个最小的和。

　　可以把这个过程看作是把$m$个序列合并成一个长度为$n$的序列。如果直接合并$m$个序列并不好做，因此我们可以每次合并两个序列，合并$m-1$次后这$m$个序列就被合并了。比如第一次先合并第$1$个和第$2$个序列，合并就是在这两个序列中每个序列都选出一个数，然后求和，一共会得到$n^2$个和。因为求的是前$n$个最小的和，因此只保留前$n$个和。然后用这个长度为$n$的新序列继续与原本第$3$个序列进行合并的操作，以此类推，一共进行$m-1$次。

　　如果只有两个序列，当进行合并的时候，如果直接暴力来把$n^2$个数全部求出来，再排序选出前$n$个数，那么每一次合并的时间复杂度都是$O(n^2)$，那么整个算法的时间复杂度就是$O(m \times n^2)$，一定会超时的。

　　做法是分组，考虑要合并两个序列$a$和$b$，先将序列$a$排好序，因为有$n^2$个和，把这些和分成$n$组。

$$\begin{cases} b_1 + a_1,~ b_1 + a_2,~ \dots,~ b_1 + a_n \\ b_2 + a_1,~ b_2 + a_2,~ \dots,~ b_2 + a_n \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots \\ b_n + a_1,~ b_n + a_2,~ \dots,~ b_n + a_n \\ \end{cases}$$

　　因为序列$a$是从小到大排好序的，每一组都加上同一个数，因此每一组都是从小到大排好序的，所以每一组中的第一个数是当前组中最小的那一个数，因此这$n^2$个数中最小的数就在每一组的第一个数中（也就是从每一组的最小数中选一个最小的数）。把每一组的第一个数选出来放到一个集合中，假设一开始这$n$个数中最小的是$b_2 + a_1$，那么我们就把$b_2 + a_1$从这些数中删掉，把$b_2 + a_2$加进来（这个数在组中的下一个数），那么第$2$小数仍然是从这$n$个数的集合中选最小的数（从每一组的最小数中选一个最小的数，而当前第$2$组中最小的数是$b_2 + a_2$）。以此类推，一共选出$n$个数为止。可以发现维护这个集合的操作可以用堆来实现。

　　这个过程可以看作是$n$路归并，只不过是用堆来实现。

　　AC代码如下，时间复杂度为$O(T \times m \cdot nlogn)$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 2010;

int n, m;
int a[N], b[N], c[N];

void merge() {
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> pq;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        pq.push({a[0] + b[i], 0});  // 把每一组的最小的数放入堆中
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        PII t = pq.top();
        pq.pop();
        
        c[i] = t.first; // 从每组的最小数中选最小的数
        pq.push({t.first - a[t.second] + a[t.second + 1], t.second + 1});   // 放入这个数所在组的下一个数
    }
    
    memcpy(a, c, sizeof(c));
}

int main() {
    int tot;
    scanf("%d", &tot);
    while (tot--) {
        scanf("%d %d", &m, &n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d", a + i);
        }
        
        sort(a, a + n); // 先对第1组排序，后面的组不需要排序
        
        for (int i = 0; i < m - 1; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                scanf("%d", b + j);
            }
            merge();    // 对序列a和b进行合并，并把结果存到a中
        }
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            printf("%d ", a[i]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 146. 序列：https://www.acwing.com/video/125/