炮兵阵地

炮兵阵地

司令部的将军们打算在 $N \times M$ 的网格地图上部署他们的炮兵部队。

一个 $N \times M$ 的地图由 $N$ 行 $M$ 列组成，地图的每一格可能是山地（用 H 表示），也可能是平原（用 P 表示），如下图。

在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示：

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。

图上其它白色网格均攻击不到。

从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。

现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

输入格式

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示 $N$ 和 $M$；

接下来的 $N$ 行，每一行含有连续的 $M$ 个字符(P 或者 H)，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。

输出格式

仅一行，包含一个整数 $K$，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

数据范围

$N \leq 100,M \leq 10$

输入样例：

5 4
PHPP
PPHH
PPPP
PHPP
PHHP

输出样例：

6

 

解题思路

　　玉米田的扩展。当在第$i$行摆放物品时，会受到前两行（第$i-1$、$i-2$行）的影响，因此在$f(i,j)$的基础上加多一维来表示第$i-1$行的状态。

　　定义状态$f(i,j,k)$表示所有已经摆完前$i$行，并且第$i$行的状态为$j$，第$i-1$行的状态为$k$的所有摆放方案，属性是摆放物品数量的最大值。根据第$i-2$行的不同状态来进行状态转移，设第$i-2$行的状态是$u$。

　　首先每一个状态为$1$的数位要是平地，用二进制状态来表示每一行的地势，$0$表示平地，$1$表示高地。因此要满足$(g[i] \& j ~\mid~ g[i-1] \& k ~\mid~ g[i-2] \& u) == 0$。

　　然后每一个状态都要满足相邻两个$1$之间至少要有两个$0$。

　　最后是这三行同一列上最多只有一个$1$，即要满足$(j \& k \mid j \& u \mid k \& u) == 0$。

　　直接暴力枚举的话时间复杂度为$O(n \times 2^{3m})$，需要先预处理出来合法的状态，不然会超时。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110, M = 1 << 10;

int n, m;
int g[N];
int f[2][M][M];
int st[M], sz;

bool check(int x) {
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (x >> i & 1 && x >> i - 1 & 1 || x >> i & 1 && x >> i - 2 & 1) return false;
    }
    return true;
}

int get(int x) {
    int ret = 0;
    while (x) {
        ret += x & 1;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        string str;
        cin >> str;
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            int x = str[j] == 'H';
            g[i] |= x << j;
        }
    }
    
    for (int i = 0; i < 1 << m; i++) {
        if (check(i)) st[sz++] = i;
    }
    
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));
    f[0][0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n + 2; i++) {
        for (int j = 0; j < sz; j++) {
            if (!(st[j] & g[i]) && check(st[j])) {
                for (int k = 0; k < sz; k++) {
                    if (!(st[k] & g[i - 1]) && check(st[k]) && !(st[j] & st[k])) {
                        for (int u = 0; u < sz; u++) {
                            if (!(st[j] & st[u]) && !(st[k] & st[u])) {
                                f[i & 1][st[j]][st[k]] = max(f[i & 1][st[j]][st[k]], f[i - 1 & 1][st[k]][st[u]] + get(st[j]));
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    cout << f[n + 2 & 1][0][0];
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 292. 炮兵阵地（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/402/