炮兵阵地

炮兵阵地

司令部的将军们打算在 N×M 的网格地图上部署他们的炮兵部队。

一个 N×M 的地图由 NM 列组成,地图的每一格可能是山地(用 H 表示),也可能是平原(用 P 表示),如下图。

在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队(山地上不能够部署炮兵部队);一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示:

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队,则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域:沿横向左右各两格,沿纵向上下各两格。

图上其它白色网格均攻击不到。

从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。

现在,将军们规划如何部署炮兵部队,在防止误伤的前提下(保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击,即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内),在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

输入格式

第一行包含两个由空格分割开的正整数,分别表示 NM

接下来的 N 行,每一行含有连续的 M 个字符(P 或者 H),中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。

输出格式

仅一行,包含一个整数 K,表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

数据范围

N100,M10

输入样例:

5 4
PHPP
PPHH
PPPP
PHPP
PHHP

输出样例:

6

 

解题思路

  玉米田的扩展。当在第i行摆放物品时,会受到前两行(第i1i2行)的影响,因此在f(i,j)的基础上加多一维来表示第i1行的状态。

  定义状态f(i,j,k)表示所有已经摆完前i行,并且第i行的状态为j,第i1行的状态为k的所有摆放方案,属性是摆放物品数量的最大值。根据第i2行的不同状态来进行状态转移,设第i2行的状态是u

  首先每一个状态为1的数位要是平地,用二进制状态来表示每一行的地势,0表示平地,1表示高地。因此要满足(g[i]&j  g[i1]&k  g[i2]&u)==0

  然后每一个状态都要满足相邻两个1之间至少要有两个0

  最后是这三行同一列上最多只有一个1,即要满足(j&kj&uk&u)==0

  直接暴力枚举的话时间复杂度为O(n×23m),需要先预处理出来合法的状态,不然会超时。

  AC代码如下:

复制代码
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 110, M = 1 << 10;
 5 
 6 int n, m;
 7 int g[N];
 8 int f[2][M][M];
 9 int st[M], sz;
10 
11 bool check(int x) {
12     for (int i = 0; i < m; i++) {
13         if (x >> i & 1 && x >> i - 1 & 1 || x >> i & 1 && x >> i - 2 & 1) return false;
14     }
15     return true;
16 }
17 
18 int get(int x) {
19     int ret = 0;
20     while (x) {
21         ret += x & 1;
22         x >>= 1;
23     }
24     return ret;
25 }
26 
27 int main() {
28     cin >> n >> m;
29     for (int i = 1; i <= n; i++) {
30         string str;
31         cin >> str;
32         for (int j = 0; j < m; j++) {
33             int x = str[j] == 'H';
34             g[i] |= x << j;
35         }
36     }
37     
38     for (int i = 0; i < 1 << m; i++) {
39         if (check(i)) st[sz++] = i;
40     }
41     
42     memset(f, -0x3f, sizeof(f));
43     f[0][0][0] = 0;
44     for (int i = 1; i <= n + 2; i++) {
45         for (int j = 0; j < sz; j++) {
46             if (!(st[j] & g[i]) && check(st[j])) {
47                 for (int k = 0; k < sz; k++) {
48                     if (!(st[k] & g[i - 1]) && check(st[k]) && !(st[j] & st[k])) {
49                         for (int u = 0; u < sz; u++) {
50                             if (!(st[j] & st[u]) && !(st[k] & st[u])) {
51                                 f[i & 1][st[j]][st[k]] = max(f[i & 1][st[j]][st[k]], f[i - 1 & 1][st[k]][st[u]] + get(st[j]));
52                             }
53                         }
54                     }
55                 }
56             }
57         }
58     }
59     
60     cout << f[n + 2 & 1][0][0];
61     
62     return 0;
63 }
复制代码

 

参考资料

  AcWing 292. 炮兵阵地(算法提高课):https://www.acwing.com/video/402/

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