Count Special Integers

Count Special Integers

We call a positive integer special if all of its digits are distinct.

Given a positive integer $n$, return the number of special integers that belong to the interval $[1, n]$.

Example 1:

Input: n = 20
Output: 19
Explanation: All the integers from 1 to 20, except 11, are special. Thus, there are 19 special integers.

Example 2:

Input: n = 5
Output: 5
Explanation: All the integers from 1 to 5 are special.

Example 3:

Input: n = 135
Output: 110
Explanation: There are 110 integers from 1 to 135 that are special.
Some of the integers that are not special are: 22, 114, and 131.

Constraints:

$1 \leq n \leq 2 \times {10}^{9}$

 

解题思路

　　经典数位dp题目。先用动态规划预处理求长度为$i$，且首位数字（从左至右）为$k$的没有重复数字出现的数的个数。为了避免重复选择了数字，还需要多开一维来记录选择了哪些数字，用二进制状态来表示。

　　因此状态表示为$f(i,j,k)$，表示长度为$i$，选择了的数字的状态为$j$，且首位的数字为$k$的数的个数。根据下一位数字的不同来进行集合的划分，状态转移方程为 $$f(i,j,k) = \sum\limits_{u = 0 ~\&\&~ u \ne k}^{9} {f(i-1, j - (1 << k), u)}, ~~ ({\text{同时要满足} j>>k\&1==1 ~\&\&~ j>>u\&1==1})$$

　　然后进行数位dp，将$n$的每一位取出来，$num[i]$表示$n$的第$i$位数，最高位为第$0$位。其中$num[0]$不可以是$0$，即不能含有前导$0$的数。

　　最后再求首位为$0$的数，枚举长度为$2 \sim m$的数进行累加，$m$为$n$的位数。

　　AC代码如下：

class Solution {
public:
    int countSpecialNumbers(int n) {
        vector<int> num;
        while (n) { // 把n的每一位取出来
            num.push_back(n % 10);
            n /= 10;
        }
        n = num.size();
        
        int f[11][1 << 10][10] = {0};
        vector<int> mp[11]; // mp[i]包含位数为i且没有重复数字的数所表示的状态
        for (int i = 0; i < 1 << 10; i++) {
            int cnt = 0;
            for (int j = 0; j < 10; j++) {
                cnt += i >> j & 1;
            }
            mp[cnt].push_back(i);
        }

        for (int i = 0; i <= 9; i++) {  // 处理长度为1的边界情况
            f[1][1 << i][i] = 1;
        }
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int &j : mp[i]) {
                for (int k = 0; k <= 9; k++) {
                    if (j >> k & 1) {   // 状态j的第k位要为1，表示包含数字k
                        for (int u = 0; u <= 9; u++) {
                            // 状态j的第u位要为1，表示包含数字u，且不能有重复数字，即u!=k
                            if (u != k && j >> u & 1) f[i][j][k] += f[i - 1][j - (1 << k)][u];
                        }
                    }
                }
            }
        }

        int ret = 0, last = 0;  // last是一个状态，表示之前的位都选择了哪些数字
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i == n - 1; j < num[i]; j++) { // 首位不能为0
                for (int &k : mp[i + 1]) {
                    if (!(last & k)) ret += f[i + 1][k][j]; // 后面的位选择的数字不能包含之前选过的数字
                }
            }

            if (last >> num[i] & 1) break;  // num[i]之前已经选过，break
            last |= 1 << num[i];    // 第i位选择了数字num[i]
            
            if (i == 0) ret++;  // 选完了所有位的数，再判断一下n是否满足所有位都不同
        }

        // 统计位数小于n的位数的剩下所有数
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j <= 9; j++) {
                for (int &k : mp[i]) {
                    ret += f[i][k][j];
                }
            }
        }

        return ret;
    }
};

　　再介绍一种数理统计的方法。

　　假设$n$有$m$位，位数小于$m$的数一定小于$n$，因此先统计有多少个位数小于$m$的数满足每一位都不一样，假设一个$k$位数（$k<m$），那么满足条件的数有$9 \times 9 \times 8 \times \dots \times 10 - k + 1$（这里$k>1$），其中首位不能选$0$，因此有$9$种选择。当只有一位数那么就有$9$种情况。

　　然后再统计位数为$m$的数有多少个是满足条件的。

　　AC代码如下：

class Solution {
public:
    int countSpecialNumbers(int n) {
        vector<int> num;
        while (n) {
            num.push_back(n % 10);
            n /= 10;
        }
        
        int ret = 0;
        for (int i = 1; i < num.size(); i++) {  // 统计位数小于num.size()的个数
            int t = 9;
            for (int j = 1, k = 9; j < i; j++, k--) {
                t *= k;
            }
            ret += t;
        }
        
        int last = 0;
        reverse(num.begin(), num.end());
        for (int i = 0; i < num.size(); i++) {  // 统计位数为num.size()的个数
            for (int j = !i; j < num[i]; j++) {
                if (last >> j & 1) continue;
                int t = 1;
                for (int k = 0, u = 9 - i; k < num.size() - i - 1; k++, u--) {
                    t *= u;
                }
                ret += t;
            }
            
            if (last >> num[i] & 1) break;
            last |= 1 << num[i];
            
            if (i == num.size() - 1) ret++;
        }
        
        return ret;
    }
};

 

参考资料

　　y总，比赛遇到原题了怎么办？力扣第306场周赛：https://www.bilibili.com/video/BV1wv4y1c71n?spm_id_from=333.337.search-card.all.click