子数组异或和

子数组异或和

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a_1,a_2, \dots ,a_n$。

请你统计一共有多少个数组 $a$ 的非空连续子数组能够同时满足以下所有条件：

• 该连续子数组的长度为偶数。
• 该连续子数组的前一半元素的异或和等于其后一半元素的异或和。

例如，当给定数组为 $[1,2,3,4,5]$ 时，满足条件的连续子数组只有 $1$ 个：$[2,3,4,5]$。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2, \dots ,a_n$。

输出格式

一个整数，表示满足条件的连续子数组的数量。

数据范围

前三个测试点满足 $2 \leq n \leq 10$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq 3 \times {10}^{5}，0 \leq a_i < 2^{20}$。

输入样例1：

5
1 2 3 4 5

输出样例1：

1

输入样例2：

6
3 2 2 3 7 6

输出样例2：

3

输入样例3：

3
42 4 2

输出样例3：

0

 

解题思路

　　这题昨天想了很久都没想出来怎么做，想到了用异或前缀和，但没发现题目第二个隐含的性质，现在做题的抽象能力十分差，很难把一个问题抽象成学过的模型。

　　假设有异或和$s_i = s_1 \wedge s_2  \wedge \dots \wedge s_i$，根据同一个数的异或和为$0$这个性质，那么有 $$\begin{align*} s_{i - j} &= s_1 \wedge s_2 \wedge \dots \wedge s_{i - j} \\ &= (s_1 \wedge \dots \wedge s_i) \wedge (s_1 \wedge \dots \wedge s_{j-1}) \\ &= s_i \wedge s_{j - 1} \end{align*}$$

　　对于第二个条件，假设子数组前一半的异或和为$x$，后一半的异或和为$y$，那么就有$x \wedge y = 0$，因此有$x = y$。

　　因此可以枚举子区间的右端点$i$，找到左端点$j+1$，满足区间长度$i - (j + 1) + 1 = i - j$为偶数，同时满足$s_i \wedge s_{j} = 0$，即$s_i = s_{j}$。因此我们要在$0 \sim i - 1$中找到有多少个$j$满足$s_i \wedge s_{j} = 0$，同时$i-j$为为偶数，即满足$i$和$j$的奇偶性相同。因此可以开两个哈希表，分别统计$j$为奇偶时的$s_j$。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1 << 20;

int cnt[2][N];  // 因为ai<2^20，因此异或和不超过2^20

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    long long ret = 0;
    cnt[0][0] = 1;
    for (int i = 1, sum = 0; i <= n; i++) {
        int v;
        scanf("%d", &v);
        sum ^= v;
        ret += cnt[i & 1][sum];
        cnt[i & 1][sum]++;
    }
    
    printf("%lld", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4507. 子数组异或和（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/4213/