能量石

能量石

岩石怪物杜达生活在魔法森林中,他在午餐时收集了 N 块能量石准备开吃。

由于他的嘴很小,所以一次只能吃一块能量石。

能量石很硬,吃完需要花不少时间。

吃完第 i 块能量石需要花费的时间为 Si 秒。

杜达靠吃能量石来获取能量。

不同的能量石包含的能量可能不同。

此外,能量石会随着时间流逝逐渐失去能量。

i 块能量石最初包含 Ei 单位的能量,并且每秒将失去 Li 单位的能量。

当杜达开始吃一块能量石时,他就会立即获得该能量石所含的全部能量(无论实际吃完该石头需要多少时间)。

能量石中包含的能量最多降低至 0

请问杜达通过吃能量石可以获得的最大能量是多少?

输入格式

第一行包含整数 T,表示共有 T 组测试数据。

每组数据第一行包含整数 N,表示能量石的数量。

接下来 N 行,每行包含三个整数 Si,Ei,Li

输出格式

每组数据输出一个结果,每个结果占一行。

结果表示为 Case #x: y ,其中 x 是组别编号(从 1 开始),y 是可以获得的最大能量值。

数据范围

1T10,
1N100,
1Si100,
1Ei105,
0Li105

输入样例:

复制代码
3
4
20 10 1
5 30 5
100 30 1
5 80 60
3
10 4 1000
10 3 1000
10 8 1000
2
12 300 50
5 200 0
复制代码

输出样例:

Case #1: 105
Case #2: 8
Case #3: 500

样例解释

在样例#1中,有 N=4 个宝石。杜达可以选择的一个吃石头顺序是:

  • 吃第四块石头。这需要 5 秒,并给他 80 单位的能量。
  • 吃第二块石头。这需要 5 秒,并给他 5 单位的能量(第二块石头开始时具有 30 单位能量,5 秒后失去了 25 单位的能量)。
  • 吃第三块石头。这需要 100 秒,并给他 20 单位的能量(第三块石头开始时具有 30 单位能量,10 秒后失去了 10 单位的能量)。
  • 吃第一块石头。这需要 20 秒,并给他 0 单位的能量(第一块石头以 10 单位能量开始,110 秒后已经失去了所有的能量)。

他一共获得了 105 单位的能量,这是能获得的最大值,所以答案是 105

在样本案例#2中,有 N=3 个宝石。

无论杜达选择吃哪块石头,剩下的两个石头的能量都会耗光。

所以他应该吃第三块石头,给他提供 8 单位的能量。

在样本案例#3中,有 N=2 个宝石。杜达可以:

  • 吃第一块石头。这需要 12 秒,并给他 300 单位的能量。
  • 吃第二块石头。这需要 5 秒,并给他 200 单位的能量(第二块石头随着时间的推移不会失去任何能量!)。

所以答案是 500

 

解题思路

  对于所有吃能量石的方案的集合,我们要考虑选择吃哪些能量石与按照什么样的顺序吃这些能量石,使得得到的能量最大。对这两个选择的不同组合可以得到所有的方案。因为是两种不同的选择,因此会想到能不能只考虑一种选择。这里先通过贪心来得到最佳的吃能量石顺序,贪心的思路与耍杂技的牛相似,证明最优解一定在某种特定顺序的方案中选择。然后我们考虑的集合就会缩小,并且最优解一定会在这个特定顺序的所有方案的集合中。然后再用01背包去求最大能量。

  对于任意方案的相邻两个能量石,在吃第i个能量石的时刻,第i个能量石剩余的能量为Ei,第i+1个能量石剩余的能量为Ei+1。因此吃这两个能量石能够获得的能量为Ei+Ei+1Si×Li+1。现在我们交换这两个能量石的顺序,那么在这个方案中除了这两个,其他能量石所能获得能量不变。而改变位置后,这两个能量石能获得的能量为Ei+Ei+1Si+1×Li。对比Ei+Ei+1Si×Li+1Ei+Ei+1Si+1×Li可以发现,当Si×Li+1<Si+1×Li,即SiLi<Si+1Li+1,第一种顺序所能获得的能量最大,反之是第二种。因此对于任意一个方案中,如果发现相邻两个能量石满足SiLi>Si+1Li+1,那么就交换这两个能量石的位置,获得的能量一定不会变小。因此最优的吃能量石的顺序是按照SiLi递增的顺序,我们只考虑满足这种顺序的方案,且其他顺序的方案一定不会优于这种方案。

  剩下的就是在这个特定顺序下,选择哪些能量石可以获得最大能量,这个问题就是01背包问题,其中体积对应时间。定义状态f(i,j)为在前i个能量石中选,且消耗总时间恰好为j的所有方案所能获得的最大能量。状态转移方程为f(i,j)=max{f(i1,j), f(i1,jsi)+eili×(jsi)}

  因此解题步骤是先按照SiLi<Si+1Li+1从小到大排序,然后对排好序的序列进行01背包求解。

  AC代码如下:

复制代码
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 110, M = 1e4 + 10;
 5 
 6 struct Node {
 7     int s, e, l;
 8     
 9     bool operator<(Node &t) {
10         return s * t.l < t.s * l;   // s_{i} / l_{i} < s_{i+1} / l_{i+1}
11     }
12 }a[N];
13 int f[M];
14 
15 int main() {
16     int tot;
17     scanf("%d", &tot);
18     for (int u = 1; u <= tot; u++) {
19         int n, m = 0;
20         scanf("%d", &n);
21         for (int i = 1; i <= n; i++) {
22             scanf("%d %d %d", &a[i].s, &a[i].e, &a[i].l);
23             m += a[i].s;    // 把所有能量石所消耗的时间累加,m就是背包的体积容量
24         }
25         
26         sort(a + 1, a + n + 1);
27         
28         memset(f, -0x3f, sizeof(f));
29         f[0] = 0;
30         for (int i = 1; i <= n; i++) {
31             for (int j = m; j >= a[i].s; j--) {
32                 f[j] = max(f[j], f[j - a[i].s] + a[i].e - a[i].l * (j - a[i].s));
33             }
34         }
35         
36         int ret = 0;
37         for (int i = 0; i <= m; i++) {
38             ret = max(ret, f[i]);
39         }
40         printf("Case #%d: %d\n", u, ret);
41     }
42     
43     return 0;
44 }
复制代码

 

参考资料

  AcWing 734. 能量石(算法提高课):https://www.acwing.com/video/389/

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