耍杂技的牛

耍杂技的牛

农民约翰的 $N$ 头奶牛（编号为 $1 \dots N$）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 $N$ 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 $W_i$ 以及自己的强壮程度 $S_i$。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 $N$，表示奶牛数量。

接下来 $N$ 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 $i$ 行表示第 $i$ 头牛的重量 $W_i$ 以及它的强壮程度 $S_i$。

输出格式

输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

$1 \leq N \leq 50000$,
$1 \leq W_i \leq 10,000$,
$1 \leq S_i \leq 1,000,000,000$

输入样例：

3
10 3
2 5
3 3

输出样例：

2

 

解题思路

　　考虑两头相邻的牛，第$i$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} - s_i$，第$i+1$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i} {w_k} - s_{i+1}$。现在交换这两个位置上的牛，交换后只会对第$i$个位置和第$i+1$个位置的危险系数产生影响，其他位置的危险系数不会发生改变。交换后第$i$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} - s_{i+1}$，第$i+1$个位置上的牛的危险系数为$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} + w_{i+1}- s_i$。

	第$i$个位置的牛	第$i+1$个位置的牛
交换前	$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} - s_i$	$\sum\limits_{k=1}^{i} {w_k} - s_{i+1}$
交换后	$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} - s_{i+1}$	$\sum\limits_{k=1}^{i-1} {w_k} + w_{i+1}- s_i$

　　现在对每一项都加上$s_i + s_{i+1} - \sum\limits_{k=1}^{i-1}$，得到

	第$i$个位置的牛	第$i+1$个位置的牛
交换前	$s_{i+1}$	$w_i + s_{i}$
交换后	$s_{i}$	$w_{i+1} + s_{i+1}$

　　假设$w_i + s_{i} > w_{i+1} + s_{i+1}$，又因为$w_i$和$s_i$均为正整数，因此有$w_i + s_{i} > s_{i}$，因此$max \{ {s_{i},w_{i+1} + s_{i+1}} \} < max \{ {s_{i+1},w_i + s_{i}} \}$，因此如果有$w_i + s_{i} > w_{i+1} + s_{i+1}$，那么这两头牛交换位置后危险系数的最大值一定会变小。因此只要相邻两头牛前一个的$w_i + s_{i}$比后一个的大，就交换这两头牛，并且危险系数只会变小不会变大。

　　所以如果一个给定的序列的$w_i + s_i$不是严格递增的，那么就交换相邻的逆序对，最终变成一个从小到大递增的序列。并且在交换的过程中危险系数的最大值不会变大。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 5e4 + 10;

PII a[N];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int w, s;
        scanf("%d %d", &w, &s);
        a[i] = {w + s, s};
    }
    
    sort(a, a + n);
    
    int ret = -2e9;
    for (int i = 0, sum = 0; i < n; i++) {
        ret = max(ret, sum - a[i].second);
        sum += a[i].first - a[i].second;
    }
    
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 125. 耍杂技的牛（算法基础课）：https://www.acwing.com/video/317