耍杂技的牛

耍杂技的牛

农民约翰的 N 头奶牛(编号为 1N)计划逃跑并加入马戏团,为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意,只提出了一个杂技表演:

叠罗汉,表演时,奶牛们站在彼此的身上,形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

N 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 Wi 以及自己的强壮程度 Si

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量(不包括它自己)减去它的身体强壮程度的值,现在称该数值为风险值,风险值越大,这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序,使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 N,表示奶牛数量。

接下来 N 行,每行输入两个整数,表示牛的重量和强壮程度,第 i 行表示第 i 头牛的重量 Wi 以及它的强壮程度 Si

输出格式

输出一个整数,表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

1N50000,
1Wi10,000,
1Si1,000,000,000

输入样例:

3
10 3
2 5
3 3

输出样例:

2

 

解题思路

  考虑两头相邻的牛,第i个位置上的牛的危险系数为k=1i1wksi,第i+1个位置上的牛的危险系数为k=1iwksi+1。现在交换这两个位置上的牛,交换后只会对第i个位置和第i+1个位置的危险系数产生影响,其他位置的危险系数不会发生改变。交换后第i个位置上的牛的危险系数为k=1i1wksi+1,第i+1个位置上的牛的危险系数为k=1i1wk+wi+1si

  i个位置的牛 i+1个位置的牛
交换前 k=1i1wksi k=1iwksi+1
交换后 k=1i1wksi+1 k=1i1wk+wi+1si

  现在对每一项都加上si+si+1k=1i1,得到

  i个位置的牛 i+1个位置的牛
交换前 si+1 wi+si
交换后 si wi+1+si+1

  假设wi+si>wi+1+si+1,又因为wisi均为正整数,因此有wi+si>si,因此max{si,wi+1+si+1}<max{si+1,wi+si},因此如果有wi+si>wi+1+si+1,那么这两头牛交换位置后危险系数的最大值一定会变小。因此只要相邻两头牛前一个的wi+si比后一个的大,就交换这两头牛,并且危险系数只会变小不会变大。

  所以如果一个给定的序列的wi+si不是严格递增的,那么就交换相邻的逆序对,最终变成一个从小到大递增的序列。并且在交换的过程中危险系数的最大值不会变大。

  AC代码如下:

复制代码
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 typedef pair<int, int> PII;
 5 
 6 const int N = 5e4 + 10;
 7 
 8 PII a[N];
 9 
10 int main() {
11     int n;
12     scanf("%d", &n);
13     for (int i = 0; i < n; i++) {
14         int w, s;
15         scanf("%d %d", &w, &s);
16         a[i] = {w + s, s};
17     }
18     
19     sort(a, a + n);
20     
21     int ret = -2e9;
22     for (int i = 0, sum = 0; i < n; i++) {
23         ret = max(ret, sum - a[i].second);
24         sum += a[i].first - a[i].second;
25     }
26     
27     printf("%d", ret);
28     
29     return 0;
30 }
复制代码

 

参考资料

  AcWing 125. 耍杂技的牛(算法基础课):https://www.acwing.com/video/317

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