二叉苹果树

二叉苹果树

有一棵二叉苹果树，如果树枝有分叉，一定是分两叉，即没有只有一个儿子的节点。

这棵树共 $N$ 个节点，编号为 $1$ 至 $N$，树根编号一定为 $1$。

我们用一根树枝两端连接的节点编号描述一根树枝的位置。

一棵苹果树的树枝太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果，给定需要保留的树枝数量，求最多能留住多少苹果。

这里的保留是指最终与 $1$ 号点连通。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $Q$，分别表示树的节点数以及要保留的树枝数量。

接下来 $N−1$ 行描述树枝信息，每行三个整数，前两个是它连接的节点的编号，第三个数是这根树枝上苹果数量。

输出格式

输出仅一行，表示最多能留住的苹果的数量。

数据范围

$1 \leq Q < N \leq 100$.
$N \ne 1$,
每根树枝上苹果不超过 $30000$ 个。

输入样例：

5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20

输出样例：

21

 

解题思路

　　这是有依赖的背包问题的简化版。因为选择的树枝要和根节点连通，因此可以把每个节点看成是物品，如果要选择这个物品就一定要选择这个物品的根节点，因此就存在一个依赖关系。把每个边的价值转变到节点的价值，然后每个节点的体积都为$1$，就可以转化成有依赖的背包问题。

　　用$f(i,j)$来表示在以$i$为根的子树中选择$j$条边的最大价值。把以$i$为节点的树的每一个子节点看成是各组物品，再根据各个物品组选择不同的边数进行状态转移。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110, M = N * 2;

int n, m;
int head[N], e[M], wts[M], ne[M], idx;
int f[N][N];

void add(int v, int w, int wt) {
    e[idx] = w, wts[idx] = wt, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}

void dfs(int u, int pre) {
    for (int i = head[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        if (e[i] != pre) {
            dfs(e[i], u);
            for (int j = m; j; j--) {
                for (int k = 0; k < j; k++) {
                    f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k - 1] + f[e[i]][k] + wts[i]);
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    
    memset(head, -1, sizeof(head));
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int v, w, wt;
        scanf("%d %d %d", &v, &w, &wt);
        add(v, w, wt), add(w, v, wt);
    }
    
    dfs(1, -1);
    printf("%d", f[1][m]);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1074. 二叉苹果树（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/416/