有依赖的背包问题

有依赖的背包问题

有 $N$ 个物品和一个容量是 $V$ 的背包。

物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。

如下图所示：

如果选择物品 $5$，则必须选择物品 $1$ 和 $2$。这是因为 $2$ 是 $5$ 的父节点，$1$ 是 $2$ 的父节点。

每件物品的编号是 $i$，体积是 $v_i$，价值是 $w_i$，依赖的父节点编号是 $p_i$。物品的下标范围是 $1 \dots N$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 $N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品个数和背包容量。

接下来有 $N$ 行数据，每行数据表示一个物品。
第 $i$ 行有三个整数 $v_i,w_i,p_i$，用空格隔开，分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。
如果 $p_i=−1$，表示根节点。 数据保证所有物品构成一棵树。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$1 \leq N,V \leq 100$
$1 \leq v_i,w_i \leq 100$

父节点编号范围：

• 内部结点：$1 \leq p_i \leq N$;
• 根节点 $p_i=−1$;

输入样例

5 7
2 3 -1
2 2 1
3 5 1
4 7 2
3 6 2

输出样例：

11

 

解题思路

　　如果要选择第$i$个物品，那么就一定要选择第$i$个物品的根节点。也就是说每个物品都存在依赖关系，每个物品的选择都依赖于其父节点。

　　对于任意一棵树，如果要从这棵树中选择物品，那么这棵树的根节点是一定要选择的。由根节点的每一个子节点所构成的子树，都是相互独立的，因此我们会自然想到枚举各个子树，求每个子树在不同体积限制下选择物品价值的最大值。

　　对于一棵树所选择的物品，我们可以根据各个子树来进行划分，假设根节点有$k$个子节点。我们可以把选择的物品根据所属的子树分成$k$个部分。而在每个子树内部还可以继续细分成$m+1$个部分（$m$是限制的体积），分别是$0 \sim m$，表示从这棵子树中选择物品的体积最多是多少。

　　因此问题变成了，一共有$k$棵子树，在每一棵子树中可以选择用多少体积，在这样的情况下求总体积不超过$m$的情况下的最大价值。可以发现这是一个分组背包问题。每一棵子树可以看成是一个分组，而组中的$m+1$个不同的体积可以看成是$m+1$种不同的物品，每个组都只能选择一种物品。　　

　　定义状态$f(u,i,j)$表示在以$u$为根的树中，从前$i$棵子树中选择体积不超过$j$且必选根节点$u$的所有方案的集合，属性是价值的最大值。状态转移方程为$$f(u,i,j) = \max_{1 \leq v \leq k} \left\{ \max_{0 \leq s \leq j-v_u} \left\{ f(u,i-1,j-s) + f \left(v,\text{size}(v),s \right) \right\} \right\}$$

　　其中$v$表示根节点$u$的子节点，$\text{size}(v)$表示$v$的子节点的个数，$s$表示在以$v$为根的子树中选择的物品体积不超过$s$。

　　AC代码如下，时间复杂度为$O(nm^2)$：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
vector<int> g[N];
int v[N], w[N];
int f[N][N][N];

void dfs(int u) {
    for (int i = v[u]; i <= m; i++) {
        f[u][0][i] = w[u];
    }
    for (int i = 1; i <= g[u].size(); i++) {
        int t = g[u][i - 1];    // 子树根节点
        dfs(t);
        for (int j = v[u]; j <= m; j++) {
            for (int k = 0; k <= j - v[u]; k++) {
                f[u][i][j] = max(f[u][i][j], f[u][i - 1][j - k] + f[t][g[t].size()][k]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    
    int root;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t;
        scanf("%d %d %d", v + i, w + i, &t);
        if (t == -1) root = i;
        else g[t].push_back(i);
    }
    
    dfs(root);
    printf("%d", f[root][g[root].size()][m]);
    
    return 0;
}

　　还可以优化掉中间的一维，AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int head[N], e[N], ne[N], idx;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

void add(int v, int w) {
    e[idx] = w, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}

void dfs(int u) {
    for (int i = v[u]; i <= m; i++) {
        f[u][i] = w[u];
    }
    for (int i = head[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        dfs(e[i]);
        for (int j = m; j >= v[u]; j--) {
            for (int k = 0; k <= j - v[u]; k++) {
                f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j - k] + f[e[i]][k]);
            }
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    
    int root;
    memset(head, -1, sizeof(head));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t;
        scanf("%d %d %d", v + i, w + i, &t);
        if (t == -1) root = i;
        else add(t, i);
    }
    
    dfs(root);
    printf("%d", f[root][m]);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 10. 有依赖的背包问题（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/386/