货币系统

货币系统

在网友的国度中共有 n 种不同面额的货币,第 i 种货币的面额为 a[i],你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便,我们把货币种数为 n、面额数组为 a[1n] 的货币系统记作 (n,a)。 

在一个完善的货币系统中,每一个非负整数的金额 x 都应该可以被表示出,即对每一个非负整数 x,都存在 n 个非负整数 t[i] 满足 a[i]×t[i] 的和为 x

然而,在网友的国度中,货币系统可能是不完善的,即可能存在金额 x 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 n=3,a=[2,5,9] 中,金额 1,3 就无法被表示出来。 

两个货币系统 (n,a) 和 (m,b) 是等价的,当且仅当对于任意非负整数 x,它要么均可以被两个货币系统表出,要么不能被其中任何一个表出。 

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 (m,b),满足 (m,b) 与原来的货币系统 (n,a) 等价,且 m 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务:找到最小的 m

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 T,表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 T 组数据。 

每组数据的第一行包含一个正整数 n

接下来一行包含 n 个由空格隔开的正整数 a[i]

输出格式

输出文件共有 T 行,对于每组数据,输出一行一个正整数,表示所有与 (n,a) 等价的货币系统 (m,b) 中,最小的 m

数据范围

1n100,
1a[i]25000,
1T20

输入样例:

2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17

输出样例:

2
5

 

解题思路

  有n个数a[1],a[2],,a[n],这n个数可以凑的数k=k1a[1]+k2a[2]++kna[n],其中ki0,且ki为整数,能够凑出来的数集称为集合A。现在要找m个数b[1],b[2],,b[m],使得这m个数能凑出来的数的集合B要与A等价,即两个集合包含的元素要相同,且要求m尽可能的小。

  这题就是求集合{a[1],a[2],,a[n]}的极大独立集。从集合{a[1],a[2],,a[n]}中删除掉那些可以被(集合中的数所)线性表示的数,使得集合{a[1],a[2],,a[n]}中的任何一个数a[i]都不能被剩余的数线性表示出来,也就是a[i]不能被剩余的数凑出来。

  性质1a[1],a[2],,a[n]中的任何一个数一定可以被b[1],b[2],,b[m]表示出来,即ai=k1b[1]+k2b[2]++kmb[m]

  这个性质比较显然,因为集合A和集合B是等价的,因此A中包含的数B中也一定包含。

  性质2:集合{b[1],b[2],,b[m]}是极大独立集,任何一个bi都不能与集合中剩余的数成线性关系。

  性质3:在最优解中,b[1],b[2],,b[m]一定是从a[1],a[2],,a[n]中选择。

  假设存在一个bi不属于a[1],a[2],,a[n]中的任何一个数,又因为biB, A=B,所以bi可以由a[1],a[2],,a[n]通过线性组合得到,bi=k1a[1]+k2a[2]++kna[n]。又根据性质一,可以把这个这个式子中的aibi表示出来,最后会得到bi关于b[1],b[2],,b[m]的等式,即bi=k1b[1]+k2b[2]++kmb[m],就与最优解矛盾了(与性质2矛盾)。

  下面是求{a[1],a[2],,a[n]}的极大独立集的步骤。首先为了方便将数组a进行升序排序,对于任何一个元素ai,它只能由前面(i=1i1)比它小的数凑出来。因此问题变成了能否由前i1个数恰好凑出a[i],这是一个完全背包问题。

  AC代码如下:

复制代码
 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int N = 110, M = 25010;
 5 
 6 int a[N];
 7 bool f[N][M];
 8 
 9 int main() {
10     int tot;
11     scanf("%d", &tot);
12     while (tot--) {
13         int n, m = 0;
14         scanf("%d", &n);
15         for (int i = 1; i <= n; i++) {
16             scanf("%d", a + i);
17             m = max(m, a[i]);
18         }
19         sort(a + 1, a + n + 1);
20         
21         int ret = 0;
22         memset(f, 0, sizeof(f));
23         f[0][0] = true;
24         for (int i = 1; i <= n; i++) {
25             if (!f[i - 1][a[i]]) ret++; // a[i]不能由前i-1个数凑出来
26             for (int j = 0; j <= m; j++) {
27                 f[i][j] = f[i - 1][j];
28                 if (j >= a[i]) f[i][j] |= f[i][j - a[i]];
29             }
30         }
31         
32         printf("%d\n", ret);
33     }
34     
35     return 0;
36 }
复制代码

 

参考资料

  AcWing 532. 货币系统(算法提高课):https://www.acwing.com/video/388/

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