货币系统
货币系统
在网友的国度中共有 种不同面额的货币,第 种货币的面额为 ,你可以假设每一种货币都有无穷多张。
为了方便,我们把货币种数为 、面额数组为 的货币系统记作 。
在一个完善的货币系统中,每一个非负整数的金额 都应该可以被表示出,即对每一个非负整数 ,都存在 个非负整数 满足 的和为 。
然而,在网友的国度中,货币系统可能是不完善的,即可能存在金额 不能被该货币系统表示出。
例如在货币系统 中,金额 就无法被表示出来。
两个货币系统 和 是等价的,当且仅当对于任意非负整数 ,它要么均可以被两个货币系统表出,要么不能被其中任何一个表出。
现在网友们打算简化一下货币系统。
他们希望找到一个货币系统 ,满足 与原来的货币系统 等价,且 尽可能的小。
他们希望你来协助完成这个艰巨的任务:找到最小的 。
输入格式
输入文件的第一行包含一个整数 ,表示数据的组数。
接下来按照如下格式分别给出 组数据。
每组数据的第一行包含一个正整数 。
接下来一行包含 个由空格隔开的正整数 。
输出格式
输出文件共有 行,对于每组数据,输出一行一个正整数,表示所有与 等价的货币系统 中,最小的 。
数据范围
,
,
输入样例:
2 4 3 19 10 6 5 11 29 13 19 17
输出样例:
2 5
解题思路
有个数,这个数可以凑的数,其中,且为整数,能够凑出来的数集称为集合。现在要找个数,使得这个数能凑出来的数的集合要与等价,即两个集合包含的元素要相同,且要求尽可能的小。
这题就是求集合的极大独立集。从集合中删除掉那些可以被(集合中的数所)线性表示的数,使得集合中的任何一个数都不能被剩余的数线性表示出来,也就是不能被剩余的数凑出来。
性质:中的任何一个数一定可以被表示出来,即。
这个性质比较显然,因为集合和集合是等价的,因此中包含的数中也一定包含。
性质:集合是极大独立集,任何一个都不能与集合中剩余的数成线性关系。
性质:在最优解中,一定是从中选择。
假设存在一个不属于中的任何一个数,又因为,所以可以由通过线性组合得到,。又根据性质一,可以把这个这个式子中的用表示出来,最后会得到关于的等式,即,就与最优解矛盾了(与性质矛盾)。
下面是求的极大独立集的步骤。首先为了方便将数组进行升序排序,对于任何一个元素,它只能由前面比它小的数凑出来。因此问题变成了能否由前个数恰好凑出,这是一个完全背包问题。
AC代码如下:
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 const int N = 110, M = 25010; 5 6 int a[N]; 7 bool f[N][M]; 8 9 int main() { 10 int tot; 11 scanf("%d", &tot); 12 while (tot--) { 13 int n, m = 0; 14 scanf("%d", &n); 15 for (int i = 1; i <= n; i++) { 16 scanf("%d", a + i); 17 m = max(m, a[i]); 18 } 19 sort(a + 1, a + n + 1); 20 21 int ret = 0; 22 memset(f, 0, sizeof(f)); 23 f[0][0] = true; 24 for (int i = 1; i <= n; i++) { 25 if (!f[i - 1][a[i]]) ret++; // a[i]不能由前i-1个数凑出来 26 for (int j = 0; j <= m; j++) { 27 f[i][j] = f[i - 1][j]; 28 if (j >= a[i]) f[i][j] |= f[i][j - a[i]]; 29 } 30 } 31 32 printf("%d\n", ret); 33 } 34 35 return 0; 36 }
参考资料
AcWing 532. 货币系统(算法提高课):https://www.acwing.com/video/388/
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