货币系统

货币系统

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。

为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1 \dots n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。 

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i] \times t[i]$ 的和为 $x$。

然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。

例如在货币系统 $n=3, a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。 

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。 

现在网友们打算简化一下货币系统。

他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。

他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。 

每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。

接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

输出格式

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

数据范围

$1 \leq n\leq 100$,
$1 \leq a[i] \leq 25000$,
$1 \leq T \leq 20$

输入样例：

2
4
3 19 10 6
5
11 29 13 19 17

输出样例：

2
5

 

解题思路

　　有$n$个数$a[1], a[2], \dots, a[n]$，这$n$个数可以凑的数$k = k_1 \cdot a[1] + k_2 \cdot a[2] + \dots + k_n \cdot a[n]$，其中$k_i \geq 0$，且$k_i$为整数，能够凑出来的数集称为集合$A$。现在要找$m$个数$b[1], b[2], \dots, b[m]$，使得这$m$个数能凑出来的数的集合$B$要与$A$等价，即两个集合包含的元素要相同，且要求$m$尽可能的小。

　　这题就是求集合$\{ {a[1], a[2], \dots, a[n]} \}$的极大独立集。从集合$\{ {a[1], a[2], \dots, a[n]} \}$中删除掉那些可以被（集合中的数所）线性表示的数，使得集合$\{ {a[1], a[2], \dots, a[n]} \}$中的任何一个数$a[i]$都不能被剩余的数线性表示出来，也就是$a[i]$不能被剩余的数凑出来。

　　性质$1$：$a[1], a[2], \dots, a[n]$中的任何一个数一定可以被$b[1], b[2], \dots, b[m]$表示出来，即$a_i = k_1 \cdot b[1] + k_2 \cdot b[2] + \dots + k_m \cdot b[m]$。

　　这个性质比较显然，因为集合$A$和集合$B$是等价的，因此$A$中包含的数$B$中也一定包含。

　　性质$2$：集合$\{{b[1], b[2], \dots, b[m]} \}$是极大独立集，任何一个$b_i$都不能与集合中剩余的数成线性关系。

　　性质$3$：在最优解中，$b[1], b[2], \dots, b[m]$一定是从$a[1], a[2], \dots, a[n]$中选择。

　　假设存在一个$b_i$不属于$a[1], a[2], \dots, a[n]$中的任何一个数，又因为$b_i \in B,~ A = B$，所以$b_i$可以由$a[1], a[2], \dots, a[n]$通过线性组合得到，$b_i = k_1 \cdot a[1] + k_2 \cdot a[2] + \dots + k_n \cdot a[n]$。又根据性质一，可以把这个这个式子中的$a_i$用$b_i$表示出来，最后会得到$b_i$关于$b[1], b[2], \dots, b[m]$的等式，即$b_i = k_1 \cdot b[1] + k_2 \cdot b[2] + \dots + k_m \cdot b[m]$，就与最优解矛盾了（与性质$2$矛盾）。

　　下面是求$\{ {a[1], a[2], \dots, a[n]} \}$的极大独立集的步骤。首先为了方便将数组$a$进行升序排序，对于任何一个元素$a_i$，它只能由前面$(i = 1 \dots i - 1)$比它小的数凑出来。因此问题变成了能否由前$i-1$个数恰好凑出$a[i]$，这是一个完全背包问题。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110, M = 25010;

int a[N];
bool f[N][M];

int main() {
    int tot;
    scanf("%d", &tot);
    while (tot--) {
        int n, m = 0;
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", a + i);
            m = max(m, a[i]);
        }
        sort(a + 1, a + n + 1);
        
        int ret = 0;
        memset(f, 0, sizeof(f));
        f[0][0] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (!f[i - 1][a[i]]) ret++; // a[i]不能由前i-1个数凑出来
            for (int j = 0; j <= m; j++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if (j >= a[i]) f[i][j] |= f[i][j - a[i]];
            }
        }
        
        printf("%d\n", ret);
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 532. 货币系统（算法提高课）：https://www.acwing.com/video/388/