倒水问题

倒水问题

有三个杯子，容量分别为 $A,B,C$。

初始时，$C$ 杯装满了水，而 $A,B$ 杯都是空的。

现在在保证不会有漏水的情况下进行若干次如下操作：

将一个杯子 $x$ 中的水倒到另一个杯子 $y$ 中，当 $x$ 空了或者 $y$ 满了时就停止（满足其中一个条件才停下）。

请问，在操作全部结束后，$C$ 中的水量有多少种可能性。

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组数据占一行，包含三个整数 $A,B,C$。

输出格式

每组数据输出一个结果，占一行。

数据范围

$0 \leq A,B,C \leq 4000$,
每个输入最多包含 $100$ 组数据。

输入样例：

0 5 5
2 2 4

输出样例：

2
3

 

解题思路

　　一开始直接写了个爆搜，结果写了半天还写错了，一共有六种倒水的方式，如果每种情况都手写一遍很麻烦而且很容易错，这里有个更为巧妙的方法，利用循环和数组来枚举这六种情况。

　　分析一下一共有多少种状态，每个杯子的容量最多是$4000$，因此三个杯子一共会有$4000^3$种不同的状态。但实际上每次倒水后必然至少有一个杯子是空的或者是满的，因此实际上的状态数为$2 \times 3 \times 4000^2$，这里的$2$是指空或满的情况，$3$是指从三个杯子中选一个是空或满的状态。当然这个是一个上限值，实际上的状态数是远远小于这个数的。

　　因此需要枚举每一个状态，从一个状态转移到另外一个状态，可以看作是图的遍历。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL B = 1000;

int a[3];
unordered_set<LL> st;
unordered_set<int> ans;

LL get(int *b) {    // 把三个杯子中的水(状态)映射成一个LL
    return b[0] * B * B + b[1] * B + b[0];
}

void dfs(int *b) {
    if (st.count(get(b))) return;   // 记录状态，避免重复搜索
    st.insert(get(b));
    ans.insert(b[2]);
    
    // 枚举所有的情况，从i倒水到j
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        for (int j = 0; j < 3; j++) {
            if (i == j) continue;   // 不可以自己倒水给自己
            int t = min(b[i], a[j] - b[j]); // 取i杯子当前盛水量与j杯子剩余容量的最小值
            int c[3] = {b[0], b[1], b[2]};  // 为了恢复现场开个临时数组
            c[i] -= t, c[j] += t;   // 倒水
            dfs(c);
        }
    }
}

int main() {
    while (~scanf("%d %d %d", a, a + 1, a + 2)) {
        st.clear();
        ans.clear();
        int b[3] = {0, 0, a[2]};
        dfs(b);
        printf("%d\n", ans.size());
    }
    
    return 0;
}

　　可以发现，dfs的代码与图的深度优先遍历是几乎一样的。$17$行表示如果这个结点（状态）以及访问过了就不再访问。$18$行表示该结点（状态）已经被访问过了。 $22 \sim 30$行表示遍历当前结点（状态）相连的边，即与当前结点（状态）相邻的结点（状态）。因此整个状态的遍历可以看作是图的深度优先遍历。

 

参考资料

　　AcWing 3511. 倒水问题（暑假每日一题2022）：https://www.acwing.com/video/4064/