整除子串

整除子串

给定一个由数字组成的字符串 $s$，请你计算能够被 $4$ 整除的 $s$ 的子串数量。

子串可以包含前导 $0$。

例如，如果 $s$ 为 124 ，则满足条件的子串有 $4$ 个： 12 ， 4 ， 24 ， 124 ；如果 $s$ 为 04 ，则满足条件的子串有 $3$ 个： 0 ， 4 ， 04 。

输入格式

一个由数字组成的字符串 $s$。

输出格式

一个整数，表示满足条件的子串数量。

数据范围

前 4 个测试点满足 $1 \leq \left| s \right| \leq 10$。
所有测试点满足 $1 \leq \left| s \right| \leq 3 \times {10}^{5}$。

输入样例1：

124

输出样例1：

4

输入样例2：

04

输出样例2：

3

输入样例3：

5810438174

输出样例3：

9

 

解题思路

　　$4 \mid n$的充分必要条件是$4$能整除$n$的末两位。把$n$拆成两部分，末两位为$ab$，前面剩余的位为$m$，即有$n = mab$，那么有$n = m \times 100 + ab$，其中不管$m$是什么，$4$都能整除$m \times 100$，因此$4 \mid n$等价于$4 \mid ab$。

　　因此我们可以枚举区间的右端点，看前面有多少个左端点使得这个区间组成的数能够被$4$整除，只需要看最后两位数$i-1$和$i$组成的数能否被$4$整除，如果可以被$4$整除，那么左端点可以取前面任何一个值（从$0 \sim i - 1$，共$i$个）。如果两位数不能被$4$整除，那么无论前面取什么都不能被$4$整除，即能够被$4$整除的子串数为$0$。还需要特判一下字串长度为$1$的情况，只需要看这一位能否被$4$整除。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3e5 + 10;

char str[N];

int main() {
    scanf("%s", str);
    
    long long ret = 0;
    for (int i = 0; str[i]; i++) {
        if ((str[i] - '0') % 4 == 0) ret++; // 特判长度为1的子串
        // 子串长度大于1的情况，看末两位能否被4整除
        if (i && ((str[i - 1] - '0') * 10 + (str[i] - '0')) % 4 == 0) ret += i;
    }
    
    printf("%lld", ret);
    
    return 0;
}

　　这题还可以用dp来做。一开始太死板了，没想到当前状态是可以从上一次的哪个状态转移过来，其实可以反过来思考，可以通过当前状态可以转移到下一个的哪个状态来进行状态的计算。

　　AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 3e5 + 10;

char str[N];
int f[N][4];

int main() {
    scanf("%s", str + 1);
    
    for (int i = 0; str[i + 1]; i++) {
        f[i + 1][(str[i + 1] - '0') % 4]++; // 长度为1的子串
        for (int j = 0; j < 4; j++) {
            f[i + 1][(j * 10 + str[i + 1] - '0') % 4] += f[i][j];   // 从当前状态转移到下一个状态
        }
    }
    
    LL ret = 0;
    for (int i = 1; str[i]; i++) {
        ret += f[i][0]; // 结果是枚举所有以右端点结尾，构成的数模4为0的字串数量
    }
    printf("%lld", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4426. 整除子串（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/3897/