更多奇怪的照片

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Farmer John 正再一次尝试给他的 $N$ 头奶牛拍照。

每头奶牛有一个范围在 $1 \dots 100$ 之内的整数的「品种编号」，编号可能重复。

Farmer John 对他的照片有一个十分古怪的构思：他希望将所有的奶牛分为不相交的若干组（换句话说，将每头奶牛分到恰好一组中）并将这些组排成一行，使得第一组的奶牛的品种编号之和为偶数，第二组的编号之和为奇数，以此类推，奇偶交替。

Farmer John 可以分成的最大组数是多少？

输入格式

输入的第一行包含 $N$。

下一行包含 $N$ 个空格分隔的整数，为 $N$ 头奶牛的品种编号。

输出格式

输出 Farmer John 的照片中的最大组数。

可以证明，至少存在一种符合要求的分组方案。

数据范围

$2 \leq N \leq 1000$

输入样例1：

7
1 3 5 7 9 11 13

输出样例1：

3

样例1解释

在这个样例中，以下是一种分成最大组数三组的方案。

将 $1$ 和 $3$ 分在第一组，$5$、$7$ 和 $9$ 分在第二组，$11$ 和 $13$ 分在第三组。

输入样例2：

7
11 2 17 13 1 15 3

输出样例2：

5

样例2解释

在这个样例中，以下是一种分成最大组数五组的方案。

将 $2$ 分在第一组，$11$ 分在第二组，$13$ 和 $1$ 分在第三组，$15$ 分在第四组，$17$ 和 $3$ 分在第五组。

 

解题思路

　　先证明一下为什么一定会有解。如果所有的数的总和是偶数，那么必然会得到一组。如果总和为奇数，意味着这些数中必然存在一个奇数，我们把这个奇数拿出来放到第二组，剩余的数（剩余的数的和是偶数）放到第一组。

　　然后还可以发现，一个数加上偶数并不会改变这个数的奇偶性，一个数加上一个奇数会改变这个数的奇偶性，因此奇数可以通过相加来改变一组的奇偶性。

　　我们一开始先统计一下奇数和偶数的个数，假设有$a$个偶数，$b$个奇数。每两个奇数可以通过相加得到一个偶数，意味着可以通过减少两个奇数来得到一个偶数，例如$a+1,~b-2$，$a+2,~b-4$以此类推。满足要求的划分方案一定是要满足$x = y$或者$x = y+1$，即$x \geq y$（关键，本题突破口）。

　　如果$x=y$，那么总共的组数为$2y$。

　　如果$x = y+1$，那么总共的组数为$2y + 1$。

　　如果$x > y+1$，由于偶数个数最多比奇数个数多$1$，因此我们可以把多余的偶数进行合并，得到$y+1$组，因此总共的组数为$2y + 1$。

　　因此如果有$x \geq y$，那么总组数为$2y + 1$。

　　因此我们只考虑$x \geq y$的情况，如果偶数的个数小于奇数的个数，我们可以通过奇数来凑出偶数，直到满足$x \geq y$。（如果已经满足$x \geq y$，而继续用奇数凑偶数，可以发现总组数是会减少的。）

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n, a = 0, b = 0;
    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        int val;
        scanf("%d", &val);
        if (val & 1) a++;
        else b++;
    }
    
    while (a > b) {
        a -= 2;
        b++;
    }
    
    printf("%d", a == b ? a * 2 : a * 2 + 1);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 3359. 更多奇怪的照片（春季每日一题2022）：https://www.acwing.com/video/3863/