子序列

子序列

给定一个长度为 $n$ 的整数序列 $a_{1},a_{2}, \dots,a_{n}$。

请你找到一个该序列的子序列，要求：

1. 该子序列的所有元素之和必须是奇数。
2. 在满足条件 $1$ 的前提下，该子序列的所有元素之和应尽可能大。

输出你找到的满足条件的子序列的所有元素之和。

保证至少存在一个满足条件的子序列。

注意，子序列不一定连续。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_{1},a_{2}, \dots,a_{n}$。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的子序列的所有元素之和。

数据范围

前 $6$ 个测试点满足 $1 \leq n \leq 5$。
所有测试点满足 $1 \leq n \leq {10}^{5}$，${−10}^{4} \leq a_{i} \leq {10}^{4}$。

输入样例1：

4
-2 2 -3 1

输出样例1：

3

输入样例2：

3
2 -5 -3

输出样例2：

-1

 

解题思路

　　把所有的正数相加，然后分类讨论：

• 所有的正数的和为奇数，那么这个就是最大值。
• 所有的正数的和为偶数：

1. 负偶数一定不选，因为一个数加上偶数不影响奇偶性，而且加上负偶数总和会变小。
2. 正偶数一定选，同理因为一个数加上偶数不影响奇偶性，而且加上正偶数总和会变大。
3. 负奇数最多选一个，如果多于一个，我们总是可以选出两个负奇数，这两个负奇数的和就变成负偶数了，加上后不影响奇偶性且总和变小。
4. 正奇数最多只能有一个不选，如多于一个不选，那么总是可以选出两个正奇数，这两个正奇数的和是正偶数，加上后不影响奇偶性且总和会变大。

　　因此贪心的思路是，先把所有的正数加起来，如果得到的总和是奇数，那么就是答案；如果是偶数，那么就需要加上一个负奇数或者减去一个正奇数，答案就是这两种情况的一个最大值。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n, a = -2e9, b = 2e9, sum = 0;
    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        int val;
        scanf("%d", &val);
        if (val > 0) sum += val;
        if (val < 0 && val % 2) a = max(a, val);
        else if (val > 0 && val % 2) b = min(b, val);
    }
    
    printf("%d", sum % 2 ? sum : max(sum + a, sum - b));
    
    return 0;
}

　　这题还可以用动态规划来做，因为可以发现这是一个背包（组合）的问题。

　　设集合$f \left( {i, j} \right)$表示从前$i$个数中选，且选的数的总和模$2$后为$j$的所有方案的集合。$j \in \left\{ {0, 1} \right\}$。

　　状态转移方程为$f \left( {i, j} \right) = max \left\{ {f(i-1, j),~ f(i-1, (j-a_{i}) \% 2)} \right\}$。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], f[N][2];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= 1; j++) {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][((j - a[i]) % 2 + 2) % 2] + a[i]);
        }
    }
    
    printf("%d", f[n][1]);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4414. 子序列（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/3846/