重新排列奶牛

重新排列奶牛

农夫约翰的 $N$ 头奶牛排成一排，编号 $1 \sim N$。

它们的排序可以由一个数组 $A$ 来描述，其中 $A \left( i \right)$ 是位于位置 $i$ 的奶牛的编号。

约翰希望将它们重新排列为一个不同的顺序。

新顺序用数组 $B$ 来描述，其中 $B \left( i \right)$ 是位于位置 $i$ 的奶牛的编号。

假设奶牛开始时的顺序为：

A = 5 1 4 2 3

并假设约翰希望它们重新排列为：

B = 2 5 3 1 4

为了从 $A$ 顺序重新排列为 $B$ 顺序，奶牛们进行了许多“循环”移位。

所谓循环移位，是指挑选排列中的若干头奶牛分在一组，组中奶牛进行循环移动位置，即第一头奶牛移动至第二头奶牛的位置，第二头奶牛移动至第三头奶牛的位置，…，最后一头奶牛移动至第一头奶牛的位置。

如上例中，将 $5,1,2$ 号奶牛分在一组进行循环移位，移动过后，$5$ 号奶牛移动至位置 $2$，$1$ 号奶牛移动至位置 $4$，$2$ 号奶牛移动至位置 $1$；将 $4,3$ 号奶牛分在另一组进行循环移位，移动过后，$4$ 号奶牛位于位置 $5$，$3$ 号奶牛位于位置 $3$；最终完成重新排列。

每头奶牛都恰好参与一组循环移位，除非其在 $A,B$ 中的位置没有变化。

请计算奶牛们完成重新排列，共需多少组循环移位，最长的一组循环移位的长度是多少。

输入格式

第一行包含整数 $N$。

接下来 $N$ 行包含 $A \left( i \right)$。

再接下来 $N$ 行包含 $B \left( i \right)$。

输出格式

输出循环移位的组数，以及最长的一组循环移位的长度。

如果不存在循环移位，则第二个数输出 $−1$。

数据范围

$1 \leq N \leq 100$,
$1 \leq A \left( i \right),B \left( i \right) \leq N$

输入样例：

5
5
1
4
2
3
2
5
3
1
4

输出样例：

2 3

 

解题思路

　　如果第$i$个数$a \left[ i \right]$在序列$b$中的第$j$个位置，并且如果有$i \ne j$，那么我们就将$a \left[ i \right]$与$a \left[ j \right]$连一条有向边，方向从$a \left[ i \right]$到$a \left[ j \right]$，表示$a \left[ i \right]$要与$a \left[ j \right]$进行交换，这样$a \left[ i \right]$才能够在序列$b$中$j$的这个位置。

　　以样例为例：

　　因此问题就变成了经过上面的操作后，一共有几个环（环中结点的数量要大于$1$）。

　　然后题目表述的不是很清楚，当时一直想不明白如果遇到$a = \left[ {1, 3, 2} \right],~ b = \left[ {3, 2, 1} \right]$这种情况应该怎么交换。按照我一开始的理解，所谓的循环交换是指按照环的顺序进行移位，因此对于序列$1~3~2$无论怎么移位，都只有$2~1~3,~3~2~1,~1~3~2$这$3$种情况，不可能会出现$3~2~1$。然而事实是，这里的循环移位是指，选择其中一头牛，然后放到其他牛的地方。然后再把刚才被换出的牛放到其他没被换过的牛的地方，以此类推，直到最后一头牛，就放到空的位置上（这个空的位置就是一开始进行交换的牛的那个位置）。

　　以上面的例子为例，一开始先选择$3$号牛，把$3$放到第$1$个位置，置换出$1$号牛，然后再把$1$号牛放到第$3$个位置，置换出$2$号牛，最后把$2$号牛放到空的位置。

　　根据这些环的性质，我们可以发现这是一个环图的模型。因为如果一个点要放到另外一个点上，那么这个点就跟另外一个点连一条边，这样的话每一个点有且只有一条出边，和有且只有一条入边。

　　环图是指：

1. 如果一个图是有向图，每个点有且只有一条出边，有且只有一条入边，那么这个图是环图。
2. 如果一个图是无向图，每个点的的度数为$2$，那么这个图是环图。

　　环图一定是由若干个环构成的。我们可以从任意一个结点出发，那么一定可以从这个点走到另外一个点，继续一直走下去，那么最后一定会走到起点。这是因为，再走的过程中，如果走不到起点就会一直走，由于我们点的数量是有限的，所以最终一定会走到之前走过的某一个点，如果这点不是起点，那么这个点的入度就为$2$了，与每个点只有$1$个入度产生矛盾，因此最终一定会走到起点。而且也不会走到其他的环上，一样会有入度为$2$的矛盾。

　　这是一个有向图，但环与环之间是不相交的。要求环的数量，等价于求连通块的数量（一个图是有向图不等价于连通块，只有是环图才等价于连通块）。维护连通块就可以用并查集了。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int a[N], pos[N];
int fa[N], cnt[N];

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int val;
        scanf("%d", &val);
        pos[val] = i;   // pos[i]是把数字i映射到在数组b中的下标，这里存的是数字val在b中的位置
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
        cnt[i] = 1;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x = a[i], y = a[pos[a[i]]];
        if (find(x) != find(y)) {
            cnt[find(x)] += cnt[find(y)];
            fa[y] = find(x);
        }
    }
    
    int ret = 0, maxv = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (fa[i] == i && cnt[i] > 1) { // 只统计长度大于1的环
            ret++;
            maxv = max(maxv, cnt[i]);
        }
    }
    printf("%d %d", ret, ret == 0 ? -1 : maxv);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1921. 重新排列奶牛（春季每日一题2022）：https://www.acwing.com/video/3835/