滑雪场设计

滑雪场设计

农夫约翰的农场上有 N 个山峰,每座山的高度都是整数。

在冬天,约翰经常在这些山上举办滑雪训练营。

不幸的是,从明年开始,国家将实行一个关于滑雪场的新税法。

如果滑雪场的最高峰与最低峰的高度差大于 17,国家就要收税。

为了避免纳税,约翰决定对这些山峰的高度进行修整。

已知,增加或减少一座山峰 x 单位的高度,需要花费 x2 的金钱。

约翰只愿意改变整数单位的高度,且每座山峰只能修改一次

请问,约翰最少需要花费多少钱,才能够使得最高峰与最低峰的高度差不大于 17

输入格式

第一行包含整数 N

接下来 N 行,每行包含一个整数,表示一座山的高度。

输出格式

输出一个整数,表示最少花费的金钱。

数据范围

1N1000,
数据保证,每座山的初始高度都在 0100 之间。

输入样例:

5
20
4
1
24
21

输出样例:

18

样例解释

最佳方案为,将高度为 1 的山峰,增加 3 个单位高度,将高度为 24 的山峰,减少 3 个单位高度。

 

解题思路

  用一个数轴表示山峰的高度。

  下面证明最终修改完成后,所有山峰的高度都会在[0,100]这个区间内。最优解中不会存在某个山峰的高度小于0或大于100

  假设最优解中所有山峰的高度都小于0,如下图。我们把所有山峰的高度都变为0

  对于所有的山峰,它的一开始的高度必然在[0,100]内的。在最优解中,我们是把这个山峰的高度变为小于0的,现在我们把这个山峰的高度变为0,可以发现代价变小了。因此我们可以不要把山峰的高度变到最优解的位置,而变到0的位置,总代价会变小,并且满足要求(高度差不超过17),因此可以构造出一个更好的方案,就与最优解矛盾了。

  另外一种情况是最优解中有部分山峰的高度是小于0的,如下图。同样的,我们把高度小于0的山峰变为0

  对于高度小于0的山峰,与上面的分析一样,变成到0后代价会减少,因此可以构造总代价更小的合法方案,就与最优解矛盾了。

  综上所述,不会有任何一个山峰的高度会小于0。因此在最优解里面,所有的山峰的最小值一定大于等于0

  同理可证,所有的山峰的高度的最大值不会超过100(把超过100的山峰都变成100,发现总代价会变小)。

  所以在最优解中,所有山峰的高度必然在[0,100]内。

  因此我们可以在[0,100]中,枚举所有长度为17的区间,一共有84个这样的区间。

  对于枚举的每个区间,我们会枚举所有的山峰。

  1. 如果某个山峰的高度在这个区间内,那么这个山峰就不需要修改。
  2. 如果某个山峰的高度小于区间的左端点,那么就需要把这个山峰的高度修改为左端点的大小,这一定会是最小的代价。
  3. 如果某个山峰的高度大于区间的右端点,那么就需要把这个山峰的高度修改为右端点的大小,这一定会是最小的代价。

  这是因为每个山峰是独立的,每个山峰的修改都不会影响到其他的山峰。因此如果我们想让总代价最小,只需要让每个山峰的代价取到最小。

  这题的本质是找到一个区间,使得所有的点到这个区间的距离最小。

  AC代码如下:

复制代码
 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int N = 1010;
 6 
 7 int a[N];
 8 
 9 int main() {
10     int n;
11     scanf("%d", &n);
12     for (int i = 0; i < n; i++) {
13         scanf("%d", a + i);
14     }
15     
16     int ret = 2e9;
17     for (int i = 0; i + 17 <= 100; i++) {   // 枚举所有长度为17的区间
18         int l = i, r = i + 17, t = 0;
19         for (int j = 0; j < n; j++) {
20             if (a[j] < l) t += (l - a[j]) * (l - a[j]);      // 山峰的高度小于左端点,则变到左端点
21             else if (a[j] > r) t += (a[j] - r) * (a[j] - r); // 山峰的高度大于右端点,则变到右端点
22         }
23         ret = min(ret, t);
24     }
25     
26     printf("%d", ret);
27     
28     return 0;
29 }
复制代码

参考资料

  AcWing 1353. 滑雪场设计(寒假每日一题):https://www.acwing.com/video/2327/

posted @   onlyblues  阅读(113)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 单线程的Redis速度为什么快?
· 展开说说关于C#中ORM框架的用法!
· Pantheons:用 TypeScript 打造主流大模型对话的一站式集成库
· SQL Server 2025 AI相关能力初探
· 为什么 退出登录 或 修改密码 无法使 token 失效
Web Analytics
点击右上角即可分享
微信分享提示