滑雪场设计

滑雪场设计

农夫约翰的农场上有 $N$ 个山峰，每座山的高度都是整数。

在冬天，约翰经常在这些山上举办滑雪训练营。

不幸的是，从明年开始，国家将实行一个关于滑雪场的新税法。

如果滑雪场的最高峰与最低峰的高度差大于 $17$，国家就要收税。

为了避免纳税，约翰决定对这些山峰的高度进行修整。

已知，增加或减少一座山峰 $x$ 单位的高度，需要花费 $x^{2}$ 的金钱。

约翰只愿意改变整数单位的高度，且每座山峰只能修改一次。

请问，约翰最少需要花费多少钱，才能够使得最高峰与最低峰的高度差不大于 $17$。

输入格式

第一行包含整数 $N$。

接下来 $N$ 行，每行包含一个整数，表示一座山的高度。

输出格式

输出一个整数，表示最少花费的金钱。

数据范围

$1 \leq N \leq 1000$,
数据保证，每座山的初始高度都在 $0 \sim 100$ 之间。

输入样例：

5
20
4
1
24
21

输出样例：

18

样例解释

最佳方案为，将高度为 $1$ 的山峰，增加 $3$ 个单位高度，将高度为 $24$ 的山峰，减少 $3$ 个单位高度。

 

解题思路

　　用一个数轴表示山峰的高度。

　　下面证明最终修改完成后，所有山峰的高度都会在$\left[ {0, 100} \right]$这个区间内。最优解中不会存在某个山峰的高度小于$0$或大于$100$。

　　假设最优解中所有山峰的高度都小于$0$，如下图。我们把所有山峰的高度都变为$0$。

　　对于所有的山峰，它的一开始的高度必然在$\left[ {0, 100} \right]$内的。在最优解中，我们是把这个山峰的高度变为小于$0$的，现在我们把这个山峰的高度变为$0$，可以发现代价变小了。因此我们可以不要把山峰的高度变到最优解的位置，而变到$0$的位置，总代价会变小，并且满足要求（高度差不超过$17$），因此可以构造出一个更好的方案，就与最优解矛盾了。

　　另外一种情况是最优解中有部分山峰的高度是小于$0$的，如下图。同样的，我们把高度小于$0$的山峰变为$0$。

　　对于高度小于$0$的山峰，与上面的分析一样，变成到$0$后代价会减少，因此可以构造总代价更小的合法方案，就与最优解矛盾了。

　　综上所述，不会有任何一个山峰的高度会小于$0$。因此在最优解里面，所有的山峰的最小值一定大于等于$0$。

　　同理可证，所有的山峰的高度的最大值不会超过$100$（把超过$100$的山峰都变成$100$，发现总代价会变小）。

　　所以在最优解中，所有山峰的高度必然在$\left[ {0, 100} \right]$内。

　　因此我们可以在$\left[ {0, 100} \right]$中，枚举所有长度为$17$的区间，一共有$84$个这样的区间。

　　对于枚举的每个区间，我们会枚举所有的山峰。

1. 如果某个山峰的高度在这个区间内，那么这个山峰就不需要修改。
2. 如果某个山峰的高度小于区间的左端点，那么就需要把这个山峰的高度修改为左端点的大小，这一定会是最小的代价。
3. 如果某个山峰的高度大于区间的右端点，那么就需要把这个山峰的高度修改为右端点的大小，这一定会是最小的代价。

　　这是因为每个山峰是独立的，每个山峰的修改都不会影响到其他的山峰。因此如果我们想让总代价最小，只需要让每个山峰的代价取到最小。

　　这题的本质是找到一个区间，使得所有的点到这个区间的距离最小。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    
    int ret = 2e9;
    for (int i = 0; i + 17 <= 100; i++) {   // 枚举所有长度为17的区间
        int l = i, r = i + 17, t = 0;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (a[j] < l) t += (l - a[j]) * (l - a[j]);      // 山峰的高度小于左端点，则变到左端点
            else if (a[j] > r) t += (a[j] - r) * (a[j] - r); // 山峰的高度大于右端点，则变到右端点
        }
        ret = min(ret, t);
    }
    
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

参考资料

　　AcWing 1353. 滑雪场设计（寒假每日一题）：https://www.acwing.com/video/2327/