约瑟夫环问题

前言

　　约瑟夫环问题是一个很很经典的问题，问题的描述大概如下：$0,1, \dots ,n-1$这$n$个数字排成一个圆圈，从数字$0$开始，每次从这个圆圈里删除第$m$个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

　　可以用队列来模拟或者是递推来解决这个问题。

 

玩游戏

$n$ 个小朋友围成一圈，玩数数游戏。

小朋友们按顺时针顺序，依次编号为 $1 \sim n$。

初始时，$1$ 号小朋友被指定为领头人。

游戏一共会行进 $k$ 轮。

在第 $i$ 轮中，领头人会从他的顺时针方向的下一个人开始，按顺时针顺序数 $a_{i}$ 个人。

其中，最后一个被领头人数到的人被淘汰出局，这也意味着该轮游戏结束。

出局者的顺时针方向的下一个人被指定为新领头人，引领新一轮游戏。

例如，假设当游戏即将开始第 $i$ 轮时，还剩下 $5$ 个小朋友，编号按顺时针顺序依次为 $8,10,13,14,16$，并且当前领头人为 $13$ 号小朋友，$a_{i}=12$，则第 $i$ 轮游戏结束后，最后一个被数到的小朋友为 $16$ 号小朋友，他将被淘汰出局，并且处于其下一位的第 $8$ 号小朋友将被指定为新领头人。

现在，请你求出每一轮次被淘汰的小朋友的编号。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,k$。

第二行包含 $k$ 个整数 $a_{1},a_{2}, \dots ,a_{k}$。

输出格式

一行，$k$ 个整数，其中第 $i$ 个整数表示在第 $i$ 轮中被淘汰的小朋友的编号。

数据范围

前三个测试点满足 $2 \leq n \leq 10$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq 100$，$1 \leq k \leq n−1$，$1 \leq a_{i} \leq {10}^{9}$。

输入样例1：

7 5
10 4 11 4 1

输出样例1：

4 2 5 6 1

输入样例2：

3 2
2 5

输出样例2：

3 2

 

解题思路

　　数据范围比较小，所有可以直接开个队列来模拟。一开始先将$1,2, \dots, n$按顺序放到队列中，每次都从队头开始数，每数到一个数就把这个数放到队尾，因此队列就起到一个循环枚举的作用。当数完$k$个数后，此时队头的数就是要删除的数，把这个数从队头删除。

　　$a_{i}$的取值范围很大，但由于是环形的枚举，因此$a_{i}~mod~n$就可以去掉重复的循环枚举，为最终枚举的次数。因此时间复杂度为$O \left( n^{2} \right)$。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

queue<int> q;

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        q.push(i);
    }
    
    while (m--) {
        int val;
        scanf("%d", &val);
        val %= q.size();
        
        for (int i = 0; i < val; i++) {
            q.push(q.front());
            q.pop();
        }
        
        printf("%d ", q.front());
        q.pop();
    }
    
    return 0;
}

　　如果$n$的数据范围很大，就需要用递推的做法了。

 

圆圈中最后剩下的数字

$0,1, \dots ,n−1$ 这 $n$ 个数字 $\left( {n>0} \right)$ 排成一个圆圈，从数字 $0$ 开始每次从这个圆圈里删除第 $m$ 个数字。

求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

数据范围

$1 \leq n,m \leq 4000$

样例

输入：n=5 , m=3

输出：3

 

解题思路

　　这题的数据范围用模拟也可以过，时间复杂度为$O \left( n^{2} \right)$。但下面讲递推的做法，时间复杂度为$O \left( n \right)$。

　　我们假设在这$n$个人中删除$n-1$个人后最终留下的人为$x$，这个人在长度为$n$的序列中的下标就是$x$。一开始在长度为$n$的序列中删除第$m$个人，如下图：

　　接下来进行第二次的删除操作，从被删除的下一个人开始，也就是下标为$m$开始继续数$m$个人然后删除。此时序列的长度变成了$n-1$，我们为这个环剩余的数字重新编号，使得开始数的那个数的下标为$0$，也就是$m$这个数的下标为$0$，顺时针往后的每个数下标都加$1$，直到$m-2$这个数时，下标为$n-2$，如下图（新的下标的颜色为红色）：

　　可以发现新的下标编号加上$m$再模$n$就是将原来的下标编号。原来在长度为$n$的序列中，$x$所在的下标重新编号后变成了$y$，即$x = \left( {y+m} \right) \%n$。$x$位置和$y$位置上的数是同一个（就是最终留下来的那个数），只是下标的编号不一样。

　　所以我们发现，如果求出了在长度为$n-1$的序列中从第$0$个人开始，每次数$m$个人将其删掉，最终留下的那个人的下标编号（在长度为$n-1$的序列中的下标），那么就可以反推回这个最终留下的人在长度为$n$的序列中的下标（加$m$模$n$）。

　　我们用$f \left( {n,m} \right)$来表示在$n$个人中，每次从被删掉的下一个人开始数$m$个人将其删除（一开始从$0$开始数），最终留下的那个人的编号。

　　第一次删掉一个人后，序列长度变成了$n-1$，并且重新进行编号，因此在长度为$n-1$的序列中，最后留下的人的编号就是$f \left( {n-1,m} \right)$。

　　当我们得到新编号后，会发现与旧编号有个映射关系，也就是新的编号加上$m$模$n$后，就得到旧编号。

　　现在留下的人在$n-1$的序列中的新编号是$f \left( {n-1,m} \right)$，因此转换为在$n$的序列中的旧编号就是$f \left( {n,m} \right) = \left( {f \left( {n-1,m} \right) + m} \right) \% n$。

　　因此递推公式为（$m$可以省略）： $$f \left( {i,m} \right) = \left( {f \left( {i-1,m} \right) + m} \right) \% i$$

　　所以我们找到了$n$和$n-1$的递推关系，其中边界是只有一个人，此时编号为$0$，即$f \left( 1 \right) = 0$。

　　我们可以用递归或循环递推的写法来写。

　　当数据规模不大的时候可以用递归，AC代码如下：

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m){
        if (n == 1) return 0;
        return (lastRemaining(n - 1, m) + m) % n;
    }
};

　　循环递推写法的AC代码如下：

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m){
        int ret = 0;    // f(1) = 0
        for (int i = 2; i <= n; i++) {  // 从2开始，一直求到n
            ret = (ret + m) % i;    // f(i) = (f(i-1) + m) % i
        }
        return ret;
    }
};

　　下面是一道变形题目。

 

招聘

某公司招聘，有 $n$ 个人入围，HR在黑板上依次写下 $m$ 个正整数 $A_{1},A_{2}, \dots, A_{m}$，然后这 $n$ 个人围成一个圈，并按照顺时针顺序为他们编号 $0,1,2, \dots, n−1$。

录取规则是：

第一轮从 $0$ 号的人开始，取用黑板上的第 $1$ 个数字，也就是 $A_{1}$。

黑板上的数字按次序循环使用，即如果某轮用了第 $k$ 个，如果 $k<m$，则下一轮需要用第 $k+1$ 个；如果 $k=m$，则下一轮用第 $1$ 个。

每一轮按照黑板上的次序取用到一个数字 $A_{x}$，淘汰掉从当前轮到的人开始按照顺时针顺序数到的第 $A_{x}$ 个人。

下一轮开始时轮到的人即为被淘汰掉的人的顺时针顺序下一个人，被淘汰的人直接回家，所以不会被后续轮次计数时数到。

经过 $n−1$ 轮后，剩下的最后 $1$ 人被录取，所以最后被录取的人的编号与 $\left( {n,m,A_{1},A_{2}, \dots, A_{m}} \right)$ 相关。

输入格式

输入包含多组测试数据。

第一行包含整数 $T$，表示共有 $T$ 组测试数据。

接下来 $T$ 行，每行包含若干个整数，依次存放 $n,m,A_{1},A_{2}, \dots, A_{m}$，表示一组数据。

输出格式

输出共 $T$ 行，每行对应相应的那组数据确定的录取之人的编号。

数据范围

$0<T<10$,
$0<m,A_{x}<{10}^{3}$,
$0<n<{10}^{7}$

输入样例：

1
4 2 3 1

输出样例：

1

样例解释

样例里只有 $1$ 组测试数据，说的是有 $4$ 人入围（编号 $0 \sim 3$）。

黑板上依次写下 $2$ 个数字：$3$、$1$，那么：

第一轮：当前轮到 $0$ 号，数到数字 $3$，顺时针数第 $3$ 个人是 $2$ 号，所以淘汰 $2$ 号，下一轮从 $3$ 号开始，目前剩余：$0$、$1$、$3$；

第二轮：当前数到 $3$ 号，取到数字 $1$，顺时针数第 $1$ 个人是 $3$ 号，所以淘汰 $3$ 号，下一轮从 $0$ 号开始，目前剩余：$0$、$1$；

第三轮：当前轮到 $0$ 号，循环取到数字 $3$，顺时针数第 $3$ 个人是 $0$ 号，所以淘汰 $0$ 号，最后只剩下 $1$ 号，所以录取 $1$ 号，输出 $1$；

 

解题思路

 　　可以发现在这一题中，每次数的人的个数不再是一个固定的数$m$了。但递推公式还是成立的，只需要把$m$改为相应的从$i$变到$i-1$要数的那个数$a \left[ {\left( n-i \right) \% m} \right]$就可以了。

　　$a \left[ {\left( n-i \right) \% m} \right]$表示，如果要从长度为$i$的序列中删除一个数，那么应该数第$n-i$个数，即$a \left[ n-i \right]$，因为数组$a$的数是循环取的，因此要模上数组$a$的长度$m$。

　　递推公式就变成了 $$f \left( i \right) = \left( {f \left( {i-1} \right) + a \left[ {\left( n-i \right) \% m} \right]} \right) \% i$$

　　由于$n$最大取到${10}^{7}$，递归来做肯定会暴栈的，因此必须要用循环。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N];

int main() {
    int tot;
    scanf("%d", &tot);
    while (tot--) {
        int n, m;
        scanf("%d %d", &n, &m);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            scanf("%d", a + i);
        }
        
        int ret = 0;    // f(1) = 0
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            ret = (ret + a[(n - i) % m]) % i;   // f(i) = (f(i-1) + a[(n-1) % m]) % i
        }
        printf("%d\n", ret);
    }
    
    return 0;
}

 

 参考资料

　　AcWing 4400. 玩游戏（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/3826/

　　AcWing 82. 圆圈中最后剩下的数字：https://www.acwing.com/video/205/

　　AcWing 1455. 招聘：https://www.acwing.com/solution/content/18760/