序列重排

序列重排

给定一个长度为 $n$ 的整数序列 $a_{1},a_{2}, \dots ,a_{n}$。

请你对序列进行重新排序（也可以保持原序列），要求新序列满足每个元素（第 $1$ 个除外）都恰好是前一个元素的两倍或前一个元素的三分之一。

保证输入一定有解。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_{1},a_{2}, \dots ,a_{n}$。

输出格式

一行 $n$ 个整数，表示排序后的序列。输出任意合法方案即可。

数据范围

前三个测试点满足 $2 \leq n \leq 10$。
所有测试点满足 $2 \leq n \leq 100$，$1 \leq a_{i} \leq 3 \times {10}^{18}$。

输入样例1：

6
4 8 6 3 12 9

输出样例1：

9 3 6 12 4 8 

输入样例2：

4
42 28 84 126

输出样例2：

126 42 84 28

输入样例3：

2
1000000000000000000 3000000000000000000

输出样例3：

3000000000000000000 1000000000000000000

 

解题思路

　　首先这题保证有解。假设有满足题目要求的序列$a_{1}~~a_{2}~\dots~a_{n}$。用$x_{i}$来表示第$i$个数的因子$2$的数量，用$y_{i}$来表示第$i$个数的因子$3$的数量。

　　在这个序列中除了第$1$个数外，对于第$i$个数，要么$a_{i}$是$a_{i-1}$的两倍，即$x_{i}$比$x_{i-1}$多$1$；要么$a_{i}$是$a_{i-1}$的$\frac{1}{3}$，即$y_{i}$比$y_{i-1}$少$1$。因此可以发现，对于任意一个数，它要么比前一个数的因子$2$多$1$，要么与前一个数的因子$2$数量相同。因此有$x_{i} \leq x_{i+1}$，即数列$x_{i}$是递增的。

　　如果某一个数与它前一个数的因子$2$的数量相同，即$x_{i} = x_{i-1}$，由于这是一个合法的序列，因此必然有这个数的因子$3$数量比前一个数的少$1$，即$y_{i} = y_{i-1} - 1$。

　　因此我们可以得到一个必要条件，就是如果这是一个合法序列，那么必然有（$x_{i} < x_{i+1}$）或者（$x_{i} = x_{i+1}$且$y_{i} > y_{i+1}$）。这是一个必要条件，也就是说如果是一个合法序列那么这个序列一定满足这个必要条件。而如果某个序列满足必要条件，那么这个序列不一定是一个合法序列。

　　由于保证有解，因此对于任何一个序列重新排完序后，满足这个必要条件的序列是唯一的。下面来证明。

　　首先不会有任何两个数$a_{i}$，$a_{j}$的因子$2$数量和因子$3$的数量相同，即$x_{i} = x_{j},~ y_{i} = y_{j}$。反证法，假设存在这个情况的话，首先$i,~ j$必然会是这个合法序列中的某两个位置，假设这两个数之间的数有$a_{i}~~a_{k_{1}}~~a_{k_{2}}~\dots~a_{j}$，因为这是一个合法序列，因此有$x_{i} \leq x_{k_{1}} \leq x_{k_{2}} \leq \dots \leq x_{j}$，由于$x_{i} = x_{j}$，因此中间所有数的因子$2$数量相等，即$x_{i} = x_{k_{1}} = x_{k_{2}} = \dots = x_{j}$。因为是合法序列，因子$2$的数量都相等，因此必然会有$y_{i} > y_{k_{1}} > y_{k_{2}} > \dots > y_{j}$，这就与$y_{i} = y_{j}$矛盾了。因此结论是如果要使序列可以变成合法序列，那么一定不会存在两个数的因子$2$和因子$3$的数量分别相等。因此序列中任何两个数的$x_{i}$和$y_{i}$不相等，根据双关键字排序，由于任何两个数都不会相等（即同时满足$x_{i} = x_{j},~ y_{i} = y_{j}$），因此每个数都有严格的大小顺序，因此他们排完序后的结果是唯一的。

　　所有，由于序列是有解的，因此不存在有两个数的因子$2$和因子$3$数量都分别相等，因此可以构造出一个满足必要条件的合法的序列，并且满足这个必要条件的序列是唯一的。

　　假设合法的序列是$S$。我们根据双关键字排序后得到一个序列$S_{1}$，这个序列满足必要条件，但不一定是合法的序列。又因为满足必要条件的序列是唯一的，因此$S_{1}$就是$S$。这是因为$S$满足必要条件，$S_{1}$也满足必要条件，因为一个序列满足必要条件不一定满足充分条件，但因为满足必要条件的序列是唯一的，因此满足必要条件的序列也会满足充分条件。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110;

vector<LL> a[N];

int get(LL n, int b) {
    int ret = 0;
    while (n % b == 0) {
        ret++;
        n /= b;
    }
    return ret;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        LL val;
        scanf("%lld", &val);
        a[i] = {get(val, 2), -get(val, 3), val}; // 因为第二关键字要升序，因此乘个负号
    }
    
    sort(a, a + n);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%lld ", a[i][2]);
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4211. 序列重排（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/3668/