两个闹钟

两个闹钟

有两个闹钟。

第一个闹钟会在 $b,b+a,b+2a,b+3a, \dots$ 时刻响铃。

第二个闹钟会在 $d,d+c,d+2c,d+3c, \dots$ 时刻响铃。

请计算两个闹钟第一次同时响铃的具体时刻。

输入格式

第一行包含两个整数 $a,b$。

第二行包含两个整数 $c,d$。

输出格式

一个整数，表示第一次同时响铃的具体时刻。

如果永远都不可能同时响铃，则输出 $−1$。

数据范围

所有测试点满足 $1 \leq a,b,c,d \leq 100$。

输入样例1：

20 2
9 19

输出样例1：

82

输入样例2：

2 1
16 12

输出样例2：

-1

 

解题思路

　　我们是直接枚举答案。假设有$b + x \cdot a + d + y \cdot c = t$，那么$t$一定满足$t \geq b, t \geq d$，同时还要满足$a \mid t - b, c \mid t - d$。

　　我们的$t$一开始的取值就要比$b$和$d$都要大。

　　然后，我们要满足$a \mid t - b$，我们只用关心$t - b$除以$a$的余数是多少，可以发现$t - b - k \cdot a$除以$a$的余数没有改变，不会影响余数。同理$t - d - k \cdot c$也不会影响余数。因此，我们从将$t - b$和$t - d$同时减去$a$和$c$的最小公倍数，也不会改变余数$t - b - k \cdot lcm \left( {a, c} \right)$，$t - d - k \cdot lcm \left( {a, c} \right)$，因此我们只需要考虑$t - b$和$t - d$在$lcm \left( {a, c} \right)$以内的数就可以了。因为如果大于$lcm \left( {a, c} \right)$的话，那么我们就减去$lcm \left( {a, c} \right)$，并不会影响余数。因为$a$和$c$的值在$100$以内，所以最小公倍数在$10000$以内。又因为$b$和$d$最大是$100$，因此$t$枚举到$10100$就可以了。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c, d;
    scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d);
    
    for (int i = max(b ,d); i <= 10100; i++) {
        if ((i - b) % a == 0 && (i - d) % c == 0) {
            printf("%d", i);
            return 0;
        }
    }
    
    printf("-1");
    
    return 0;
}

　　还可以用扩展欧几里得。由$b + a \cdot x = d + c \cdot y$，得到$a \cdot x - c \cdot y = d - b$。如果$gcd \left( {a, c} \right) \mid d - b$，才有解。先让$x$取到最小正整数，然后通过式子求得$y$，当$y < 0$，那么$x$和$y$同时加上对应的值。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    
    return d;
}

int main() {
    int a, b, c, d, x, y;
    scanf("%d %d %d %d", &a, &b, &c, &d);
    
    int gcd = exgcd(a, c, x, y);
    if ((d - b) % gcd) {
        printf("-1");
    }
    else {
        x *= (d - b) / gcd;
        int tx = c / gcd, ty = a / gcd;
        x = (x % tx + tx) % tx;
        y = (b + a * x - d) / c;
        while (y < 0) {
            x += tx;
            y += ty;
        }
        
        printf("%d", b + a * x);
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4379. 两个闹钟（AcWing杯 - 全国联赛）：https://www.acwing.com/video/3755/