图中的环

图中的环

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图。

点的编号从 $1$ 到 $n$。

图中不含重边和自环。

请你对给定图进行判断，如果该图是一个有且仅有一个环的连通图，则输出 YES ，否则输出 NO 。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,m$。

接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $a,b$，表示点 $a$ 和点 $b$ 之间存在一条无向边。

输出格式

如果该图是一个有且仅有一个环的连通图，则输出 YES ，否则输出 NO 。

数据范围

前三个测试点满足 $1 \leq n \leq 10$。
所有测试点满足 $1 \leq n \leq 100$，$0 \leq m \leq \frac{n \left( n−1 \right)}{2}$，$1 \leq a,b \leq n$。

输入样例1：

6 6
6 3
6 4
5 1
2 5
1 4
5 4

输出样例1：

YES

输入样例2：

6 5
5 6
4 6
3 1
5 1
1 2

输出样例2：

NO

 

解题思路

　　图是连通的，而且有且只有一个环，那么可以想象一下，这个图有一个环，环上挂着一堆树。这种图就是基环树。

　　一个图是基环树的充分必要条件是：图是连通的、边的数量等于点的数量。

　　因此问题就变成了判断一个图是否为基环树。

　　首先先判断边数是否等于点数，再判断图是否连通。判断图的连通性可以用并查集或dfs。

　　并查集做法：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int fa[N];

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    if (m != n) {
        printf("NO");
        return 0;
    }
    
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        fa[i] = i;
    }
    
    int cnt = n;
    while (m--) {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        if (find(a) != find(b)) {
            fa[find(a)] = find(b);
            cnt--;
        }
    }
    
    printf("%s", cnt == 1 ? "YES" : "NO");
    
    return 0;
}

　　dfs做法：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110, M = N << 1;

int head[N], e[M], ne[M], idx;
bool vis[N];
int last = -1;

void add(int v, int w) {
    e[idx] = w, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}

void dfs(int src, int pre) {
    vis[src] = true;
    for (int i = head[src]; i != -1; i = ne[i]) {
        if (e[i] != pre && !vis[e[i]]) dfs(e[i], src);
    }
}

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    if (m != n) {
        printf("NO");
        return 0;
    }
    
    memset(head, -1, sizeof(head));
    while (m--) {
        int v, w;
        scanf("%d %d", &v, &w);
        add(v, w), add(w, v);
    }
    
    dfs(1, -1);
    
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (vis[i]) cnt++;
    }
    printf("%s", cnt == n ? "YES" : "NO");
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4216. 图中的环（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/3690/