砝码称重

砝码称重

你有一架天平和 $N$ 个砝码，这 $N$ 个砝码重量依次是 $W_{1},W_{2}, \dots, W_{N}$。

请你计算一共可以称出多少种不同的正整数重量？

注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $N$。

第二行包含 $N$ 个整数：$W_{1},W_{2},W_{3}, \dots, W_{N}$。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

对于 $50\%$ 的评测用例，$1 \leq N \leq 15$。
对于所有评测用例，$1 \leq N \leq 100$，$N$ 个砝码总重不超过 ${10}^{5}$。

输入样例：

3
1 4 6

输出样例：

10

样例解释

能称出的 $10$ 种重量是：$1、2、3、4、5、6、7、9、10、11$。

1 = 1；
2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；
3 = 4 − 1；
4 = 4；
5 = 6 − 1；
6 = 6；
7 = 1 + 6；
9 = 4 + 6 − 1；
10 = 4 + 6；
11 = 1 + 4 + 6。

 

解题思路

　　每个砝码都有三种选择，一种是放左边，取$'+'$号；放右边，取$'-'$号；不放，取$0$。给每一个砝码一种选择，问可以称出的重量。其实就是一个有限制的选择问题，也就是背包问题。

　　其中$j$的取值范围为$-m \leq j \leq m$，$m$是所有砝码的总重量。因为下标不能是负数，因此我们给$j$加个偏移量$m$，这样就变成了$0 \leq j \leq 2 \times m$了。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 110, M = 1e5 + 10;

int a[N];
bool f[N][M << 1];

int main() {
    int n, m = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
        m += a[i];
    }
    
    f[0][m] = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = -m; j <= m; j++) {
            f[i][j + m] = f[i - 1][j + m];
            if (j - a[i] >= -m) f[i][j + m] |= f[i - 1][j - a[i] + m];
            if(j + a[i] <= m) f[i][j + m] |= f[i - 1][j + a[i] + m];
        }
    }
    
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (f[n][i + m]) ret++;
    }
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 3417. 砝码称重（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/2846/