社交距离 I

社交距离 I

一种新型疾病，COWVID-19，开始在全世界的奶牛之间传播。

Farmer John 正在采取尽可能多的预防措施来防止他的牛群被感染。

Farmer John 的牛棚是一个狭长的建筑物，有一排共 $N$ 个牛栏。

有些牛栏里目前有奶牛，有些目前空着。

得知“社交距离”的重要性，Farmer John 希望使得 $D$ 尽可能大，其中 $D$ 为最近的两个有奶牛的牛栏的距离。

例如，如果牛栏 $3$ 和 $8$ 是最近的有奶牛的牛栏，那么 $D=5$。

最近两头奶牛新来到 Farmer John 的牛群，他需要决定将她们分配到哪两个之前空着的牛栏。

请求出他如何放置这两头新来的奶牛，使得 $D$ 仍然尽可能大。

Farmer John 不能移动任何已有的奶牛；他只想要给新来的奶牛分配牛栏。

输入格式

输入的第一行包含 $N$。

下一行包含一个长为 $N$ 的字符串，由 $0$ 和 $1$ 组成，描述牛棚里的牛栏。

$0$ 表示空着的牛栏，$1$ 表示有奶牛的牛栏。

字符串中包含至少两个 $0$，所以有足够的空间安置两头新来的奶牛。

输出格式

输出 Farmer John 以最优方案在加入两头新来的奶牛后可以达到的最大 $D$ 值（最近的有奶牛的牛栏之间的距离）。

数据范围

$2 \leq N \leq {10}^{5}$

输入样例：

14
10001001000010

输出样例：

2

样例解释

在这个例子中，Farmer John 可以以这样的方式加入奶牛，使得牛栏分配变为 $10x010010x0010$，其中 $x$ 表示新来的奶牛。

此时 $D=2$。

不可能在加入奶牛之后取到更大的 $D$ 值。

 

解题思路

　　分情况来讨论，一共有两种情况。

1. 两头牛在同一个区间。
2. 两头牛在不同的区间。

　　我们把首尾区间和中间的区间分开来看。

　　对于首尾区间，如果要把两头牛都放在首区间中，很明显，当把一头牛放在左端点时，另一头牛距离左右两头牛的距离才会尽可能的大。那么另一头牛应该放在什么地方？假设这头牛距离左端点的牛的距离为$d_{1}$，距离$x_{1}$的距离为$d_{2}$，那么应该有$d_{1} + d_{2} = x_{1} - 1$。当$d_{1}$和$d_{2}$越接近时，$d_{1}$和$d_{2}$中的最小值才会越大，我们让$d_{1} = d_{2} = \left\lfloor {\frac{x_{1}-1}{2}} \right\rfloor $。如果得到的距离是整数的话，那么$d_{1}$和$d_{2}$取相等。如果不是整数，那么下取整，比如$5$，那么会得到一个是$2$，另一个是$3$，我们应该取$2$。

　　尾区间同理，最小的距离应该是$\left\lfloor {\frac{n-x_{m}}{2}} \right\rfloor$，$x_{m}$是序列中最后一头牛的下标，在上面的序列中$m=5$。

　　对于中间的区间$\left[ {x_{i}, x_{i+1}} \right]$，当放入两头牛后会有三段距离，一段是一头牛与区间左边的牛的距离$d_{1}$，一段是两头牛之间的距离$d_{2}$，一段是另一头牛与区间右边的牛的距离$d_{3}$。同理会有$d_{1} + d_{2} + d_{3} = x_{i+1} - x_{i}$。要使这三个数的最小值最大，应该有让$d_{1} = d_{2} = d_{3}$，假设$d_{1}$的值最小，那么有$d_{1} = \left\lfloor {\frac{x_{i+1}-x_{i}}{3}} \right\rfloor$。

　　现在我们要看放在哪一个区间更好，也就是可以取到最大的最小值。

　　先看把牛放入中间区间的情况，假设在没放牛之前的初始情况，任意两个牛之间的距离为${x'}_{i}$，其中${x'}_{1} = x_{2} - x_{1}$，以此类推。假设我们把牛放入第$i$个区间，得到的最小距离是$y_{i} = \left\lfloor {\frac{x_{i+1}-x_{i}}{3}} \right\rfloor$，那么最后所有牛间的最小值就应该是$min\left\{ {{x'}_{1}, {x'}_{2}, \dots, y_{i}, {x'}_{i+1}, \dots, {x'}_{m}} \right\}$，由因为${x'}_{i} > y_{i}$，因此我们可以把${x'}_{i}$放入进行比较，这并不会影响最终答案，因此就有$min\left\{ {{x'}_{1}, {x'}_{2}, \dots, {x'}_{m}}, y_{i} \right\}$。可以发现，这对于任何中间的区间都成立，只需要把$y_{i}$改成对应放入的区间即可。而对于首尾区间的情况，同样只需要把$y_{i}$换成首尾区间的结果。因此为了使得最小的距离最大，应该取所有的$y_{i}$的最大值。假设一开始已存在的牛之间的最小距离为$x_{min} = min\left\{ {{x'}_{1}, {x'}_{2}, \dots, {x'}_{m}} \right\}$，因此对于把牛都放入同一个区间的情况，能够取到的最大距离就为$min \left\{ {x_{min}, max \left\{ y_{i} \right\}} \right\}$。

　　然后是把牛放入不同区间的情况。如果放在首尾区间，那么应该放在左端点或右端点上，距离分别为$x_{1} - 1$和$n - x_{m}$。如果是放在中间的中，那么最小距离的最大值为$\left\lfloor \frac{x_{i+1} - x_{i}}{2} \right\rfloor$。我们在每一个区间中都放一头牛得到上述的距离，最后在这些距离中找到最大值和次大值，那么我们应该把这两头牛分别放入这两个对应区间中，最小距离可以取到最大值。假设最大值和次大值分别为$y_{1}$和$y_{2}$，和第一种情况一样$y_{i} < {x'}_{i}$，$y_{j} < {x'}_{j}$，因此能够取到的最大距离就为$min \left\{ {x_{min}, y_{i}, y_{j}} \right\}$，即$min \left\{ {x_{min}, y_{j}} \right\}$。

　　最后的答案应该就是求出这两种情况的结果中，取最小值。

　　如果不存在首区间或尾区间，根据上面的公式，会有$x_{1} - 1 = 0$及$n - x_{m} = 0$，对于两种放法，我们都是取所有放入后的距离的最大值，而$0$并不会影响取最大值，因此也是成立的。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

char str[N];
int pos[N];

int main() {
    int n;
    scanf("%d %s", &n, str + 1);
    
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (str[i] == '1') pos[++cnt] = i;  // 记录初始时有牛的位置
    }
    
    if (cnt == 0) { // 如果一头牛的没有，那么两头牛应该放在左右端点
        printf("%d", n - 1);
        return 0;
    }
    
    int minx = N;   // 初始时，两头牛之间的最小距离
    for (int i = 1; i < cnt; i++) {
        minx = min(minx, pos[i + 1] - pos[i]);
    }
    
    // 把两头牛放入同一个区间
    int y = max(pos[1] - 1 >> 1, n - pos[cnt] >> 1);    // 先对首尾区间这种特殊情况进行判断
    for (int i = 1; i < cnt; i++) {
        y = max(y, (pos[i + 1] - pos[i]) / 3);  // 处理中间区间的情况
    }
    
    // 把两头牛放入不同的区间
    int y1 = pos[1] - 1, y2 = n - pos[cnt]; // 先对首尾区间进行特判
    if (y1 < y2) swap(y1, y2);  // y1是最大值，y2是次大值
    for (int i = 1; i < cnt; i++) {
        int t = pos[i + 1] - pos[i] >> 1;   // 处理中间区间的情况
        
        // 维护最大值和次大值
        if (t >= y1) y2 = y1, y1 = t;
        else if (t > y2) y2 = t;
    }
    
    printf("%d", min(minx, max(y, y2)));
    
    return 0;
}

　　这题还可以用二分。一开始的搜索的左右端点值为$left = 1, right = x_{min}$。

　　对于check函数，假设要判断的最小距离的最大值能否为$x$，先从头到尾扫描一遍序列，然后如果某个位置$i$为$0$，那么把牛放入这个位置，然后判断与前一头牛和后一头牛的距离，应该要满足$i - pre \geq x ~ \&\& ~ i - ne_{i} \geq x$，其中$pre$表示前一头牛的位置，$ne_{i}$为在$i$这个位置的后一头牛的位置，可以预处理出来。只有满足这个条件，才可以把牛放入，并更新pre为$i$。最后判断能否放入两头牛。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
char str[N];
int a[N], ne[N];

bool check(int x) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 1, pre = -INF; i <= n; i++) {  // 一开始pre设为负无穷，意味着在最左边有一头牛
        if (a[i] == 0 && i - pre >= x && ne[i] - i >= x) {
            if (++cnt >= 2) return true;
            pre = i;
        }
        else if (a[i] == 1) {
            pre = i;
        }
    }
    
    return false;
}

int main() {
    scanf("%d %s", &n, str + 1);
    
    int left = 1, right = N;
    for (int i = 1, pre = -INF; i <= n; i++) {
        a[i] = str[i] - '0';
        if (a[i] == 1) {
            right = min(right, i - pre);
            pre = i;
        }
    }
    
    // 预处理出来每头牛的下一头牛的位置，在正无穷处设一头牛
    memset(ne, 0x3f, sizeof(ne));
    for (int i = n; i; i--) {
        if (a[i] == 0) {
            if (a[i + 1] == 1) ne[i] = i + 1;
            else ne[i] = ne[i + 1];
        }
    }
    
    while (left < right) {
        int mid = left + right + 1 >> 1;
        if (check(mid)) left = mid;
        else right = mid - 1;
    }
    
    printf("%d", left);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1659. 社交距离 I（春季每日一题2022）：https://www.acwing.com/video/3747/

　　AcWing 1659. 社交距离 I 二分：https://www.acwing.com/solution/content/103535/