整数拼接

整数拼接

给定一个长度为 $n$ 的数组 $A_{1},A_{2}, \dots ,A_{n}$。

你可以从中选出两个数 $A_{i}$ 和 $A_{j}$ ($i$ 不等于 $j$)，然后将 $A_{i}$ 和 $A_{j}$ 一前一后拼成一个新的整数。

例如 $12$ 和 $345$ 可以拼成 $12345$ 或 $34512$。

注意交换 $A_{i}$ 和 $A_{j}$ 的顺序总是被视为 $2$ 种拼法，即便是 $A_{i}=A_{j}$ 时。

请你计算有多少种拼法满足拼出的整数是 $K$ 的倍数。

输入格式

第一行包含 $2$ 个整数 $n$ 和 $K$。

第二行包含 $n$ 个整数 $A_{1},A_{2}, \dots ,A_{n}$。

输出格式

一个整数代表答案。

$1 \leq n \leq {10}^{5}$,
$1 \leq K \leq {10}^{5}$,
$1 \leq A_{i} \leq {10}^{9}$

输入样例：

4 2
1 2 3 4

输出样例：

6

 

解题思路

　　很容易想到两个数两个数去枚举，但这样的时间复杂度是$O \left( n^{2} \right)$的，因此需要进行优化。

　　我们任意选择两个数$x$，$y$，对其进行拼接，得到$x \times {10}^{s} + y$，其中$s = len \left( y \right)$，即数字$y$的位数。我们要找的是有多个这样形式的数，满足$x \times {10}^{s} + y \equiv 0 ~ \left( mod~K \right)$。

　　我们可以通过枚举每一个数，把这个数当作上式的$y$，这时$y$和$s$都是一个确定的值，只需查看有多少个$x$，满足$x \times {10}^{s} + y \equiv 0 ~ \left( mod~K \right)$，进行一下变化，即有多少个$x$满足$x \times {10}^{s} \equiv -y ~ \left( mod~K \right)$。

　　我们可以进行预处理，用哈希表来统计每一个数乘上${10}^{n}$后模$K$得到的余数的次数。这里$n = 1, 2, \dots , 10$，每一个数都要取。原理是开$10$个哈希表，然后用第$n$个哈希表来统计每个数乘上${10}^{n}$后模$K$得到的余数的次数。

　　预处理完后，当再枚举每一个数$y$时，我们就可以直接查第$len \left( y \right)$个哈希表，查看有多少个数乘上$10$的$len \left( y \right)$次方后，$mod ~ K$后是$-y$的（当然，这里要转换为非负的余数）。

　　当然，如果$y$这个数乘上$10$的$len \left( y \right)$次方模$K$等于$-y$，即$y \times {10}^{s} + y \equiv 0 ~ \left( mod~K \right)$，那么我们的结果要减去一个$1$，因为在预处理的时候，我们是把这种情况也统计进去的。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;

int a[N], cnt[15][N];

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
        
        LL t = a[i] % m;
        for (int i = 1; i <= 10; i++) {
            t = t * 10 % m;
            cnt[i][t]++;    // 统计得到每个数的余数的次数
        }
    }
    
    LL ret = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int len = to_string(a[i]).size();
        ret += cnt[len][(-a[i] % m + m) % m];
        
        LL t = a[i] % m;
        while (len--) {
            t = t * 10 % m;
        }
        if (t == (-a[i] % m + m) % m) ret--;    // 除去这个数本身进行拼接的次数
    }
    
    printf("%lld", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 2068. 整数拼接（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/2024/