两个数列

两个数列

有两个正整数数列 $a_{1},a_{2}, \dots ,a_{n}$ 和 $b_{1},b_{2}, \dots ,b_{n}$。

现在，已知的信息有：

1. 数列 $a$ 的各个元素的值。
2. 数列 $b$ 的各个元素之和 $s$。
3. 对于任意的 $1 \leq i \leq n$，满足 $1 \leq b_{i} \leq a_{i}$ 成立。

利用给出的信息，我们可以对数列 $b$ 中各个元素的值进行推断。

由上述信息，我们可知对于元素 $b_{i}$，其可能的取值范围为 $\left[ {1,a_{i}} \right]$，但是受到已知条件的约束，它可能无法取到其中一些数值。

我们的任务就是计算每个 $b_{i}$ 在其可能的取值范围内，无法取到的数值的数量。

例如，如果 $n=2$，$a=\left\{4,4\right\}$，$s=8$，则数列 $b$ 中的每一个元素都不能小于 $4$（否则，另一个元素就要大于 $4$，这是不可能的），也就是说 $b_{1}$ 和 $b_{2}$ 在其可能的取值范围 $\left[ {1,4} \right]$ 内，均无法取到 $1,2,3$，无法取到的数值的数量均为 $3$。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $s$。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_{1},a_{2}, \dots ,a_{n}$。

输出格式

共一行，$n$ 个整数，其中第 $i$ 个整数表示 $b_{i}$ 在其可能的取值范围内，无法取到的数值的数量。

数据范围

前三个测试点满足 $1 \leq n \leq 2$。
所有测试点满足 $1 \leq n \leq 2 \times {10}^{5}$，$n \leq s \leq \sum\limits_{i = 1}^{n}a_{i}$，$1 \leq a_{i} \leq {10}^{6}$。

输入样例1：

2 8
4 4

输出样例1：

3 3

输入样例2：

1 3
5

输出样例2：

4

输入样例3：

2 3
2 3

输出样例3：

0 1

 

解题思路

　　每个$b_{i}$是独立求解的，不需要考虑$b_{i}$与其他$b_{i}$的相关性。

　　首先$b_{i}$要满足$1 \leq b_{i} \leq a_{i}$。

　　假设所有$b_{i}$的总和为${sum}_{b}$，用${sum}_{b_{i}}$来表示除了$b_{i}$其他的$b$的和，即${sum}_{b_{i}} = {sum}_{b} - b_{i}$。同理，用${sum}_{a_{i}}$来表示除了$a_{i}$其他的$a$的和。

　　那么就有${sum}_{b_{i}} + b_{i} = {sum}_{b}$，$b_{i} = {sum}_{b} - {sum}_{b_{i}}$。

　　我们要求$b_{i}$的取值范围，那么先求${sum}_{b_{i}}$的取值范围。

　　由于每个都有$1 \leq b_{i} \leq a_{i}$，因此有$n-1 \leq {sum}_{b_{i}} \leq {sum}_{a_{i}} = {sum}_{a} - a_{i}$，$- \left( {sum}_{a} - a_{i} \right) \leq -{sum}_{b_{i}} \leq - \left( {n-1} \right) $，因此有$sum_{b} - \left( {sum}_{a} - a_{i} \right) \leq sum_{b} - {sum}_{b_{i}} \leq sum_{b} - \left( {n-1} \right) $。

　　即$sum_{b} - \left( {sum}_{a} - a_{i} \right) \leq b_{i} \leq sum_{b} - \left( {n-1} \right) $。同时$b_{i}$要满足$1 \leq b_{i} \leq a_{i}$，因此最后我们求这两个不等式的交集就可以了。

　　因为题目的数据范围保证每个$b_{i}$都可以取到值，因此这两个不等式一定会有交集。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2e5 + 10;

LL a[N];

int get(LL a, LL b, LL c, LL d) {
    return min(b, d) - max(a, c) + 1;   // 两个区间的交集为左端点的最大值与右端点的最小值
}

int main() {
    LL n, sb;
    scanf("%lld %lld", &n, &sb);
    
    LL sa = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lld", a + i);
        sa += a[i];
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", a[i] - get(1, a[i], sb - (sa - a[i]), sb - (n - 1)));
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 4315. 两个数列（AcWing杯 - 周赛）：https://www.acwing.com/video/3740/