修改数组

修改数组

给定一个长度为 $N$ 的数组 $A = \left[ {A_{1},A_{2}, \cdots A_{N}} \right]$，数组中有可能有重复出现的整数。

现在小明要按以下方法将其修改为没有重复整数的数组。

小明会依次修改 $A_{2},A_{3}, \cdots ,A_{N}$。

当修改 $A_{i}$ 时，小明会检查 $A_{i}$ 是否在 $A_{1} \sim A_{i−1}$ 中出现过。

如果出现过，则小明会给 $A_{i}$ 加上 $1$；如果新的 $A_{i}$ 仍在之前出现过，小明会持续给 $A_{i}$ 加 $1$，直到 $A_{i}$ 没有在 $A_{1} \sim A_{i−1}$ 中出现过。

当 $A_{N}$ 也经过上述修改之后，显然 $A$ 数组中就没有重复的整数了。

现在给定初始的 $A$ 数组，请你计算出最终的 $A$ 数组。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$。

第二行包含 $N$ 个整数 $A_{1},A_{2}, \cdots ,A_{N}$。

输出格式

输出 $N$ 个整数，依次是最终的 $A_{1},A_{2}, \cdots ,A_{N}$。

数据范围

$1 \leq N \leq {10}^{5}$,
$1 \leq A_{i} \leq {10}^{6}$

输入样例：

5
2 1 1 3 4

输出样例：

2 1 3 4 5

 

解题思路

解法一：并查集

　　这是一个另类并查集，有点像单链表。

　　$fa \left[ i \right]$表示单链表中的下一个结点。$i$所在的这颗树（集合）的根节点（代表元素）是从$i$开始向右找，第一个没有被用过的数字。也就是说，在这个集合中，只有根节点这个数字是没有被用过的，其余的数字都被用过。$i$的下一个元素（即$fa \left[ i \right]$）可能不是根节点，也可能是根节点，但通过路径压缩最后一定会指向根节点。每次用了根节点后，都把根节点并到根节点所代表的数字的下一个数字。

　　根据样例模拟一下：

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 1e6 + 10;

int fa[N];

int find(int x) {
    return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        fa[i] = i;
    }
    
    while (n--) {
        int val;
        scanf("%d", &val);
        val = find(val);    // 找根节点，根节点没有用过
        fa[val] = val + 1;  // 根节点已经被用过了，把根节点并到下一个数字
        
        printf("%d ", val);
    }
    
    return 0;
}

　　这种并查集的更一般用法：删除区间问题，每次删除区间$\left[ {L, R} \right]$内的数，每个数都只会删一次，但可能会重复查询某个区间，问某个数是第几次删除的。

　　如果删除区间$\left[ {L, R} \right]$，那就将该区间中的每个数$x$的$p\left[ x \right]$设置成$R + 1$。对于某个$x$，如果$find \left( x \right) == x$，就表示该数未被删除，否则就表示该数已被删除。

 

解法二：平衡树

　　这里的平衡树是用std::set来实现的。

　　用平衡树来维护连续的区间，这些区间中的数都是已经使用过的。每次遍历到一个数$x$，就查看这个数是否出现在某一个区间中，如果出现在某一个区间$\left[ {L, R} \right]$中，那么这个数只能通过加$1$加到$R + 1$，把$x$变为$R + 1$，否则就是$x$。然后把变化后的$x$插入到这些区间中，因为加入了$x$后某些区间就相邻了，因此要更新区间，把相连的两个区间合并到一个区间，比如把$\left[ {L, k} \right]$和$\left[ {k+1, R} \right]$合并成$\left[ {L, R} \right]$。

　　如何找到$x$是否出现在某一个区间中呢？我们只需要遍历区间的右端点，找到右端点大于等于$x$的第一个区间，然后判断这区间的左端点是否小于等于$x$，如果是，那么$x$就在这个区间中，否则不再。这里还有一个细节是，我们是用std::set::lower_bound()来找这个区间，因此我们用pair来存储左右区间的端点，但first用来存储右端点，second来存储左端点。

　　接下来就是合并区间的操作。我们确定了$x$更新成某个数后，是直接先把$\left[ {x, x} \right]$这个区间插入平衡树的，可以发现最多会有两次区间的合并，也就是这种情况$\left[ {L, x-1} \right]$，$\left[ {x, x} \right]$，$\left[ {x+1, R} \right]$。也有可能只合并一次，或不合并。如果发现前一个区间的右端点加上$1$后等于后一个区间的左端点，那么就合并这两个区间。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    set<PII> st;
    while (n--) {
        int val;
        scanf("%d", &val);
        
        auto t = st.lower_bound({val, -1}); // 找到右端点大于等于val的第一个区间
        if (t != st.end() && t->second <= val) val = t->first + 1;  // 这个区间要存在，且区间的左端点小于val说明val在这个区间中，val变成右端点的值加1
        
        t = st.insert({val, val}).first;    // 插入[val, val]这个区间，val被用过了，同时记录这个区间的迭代器
        if (t != st.begin()) t--;   // 如果这个区间不是第一个区间，说明前面存在一个区间，这个区间也许会与[val, val]合并，因此让迭代器指向这个区间
        
        for (int i = 0; i < 2 && t != st.end(); i++) {  // 最多进行两次区间合并
            auto j = t; // t指向当前区间
            j++;    // j指向当前区间的下一个区间
            
            // 如果这个区间存在，且当前区间的右端点加1后等于下一个区间的左端点，则把这两个区间合并
            if (j != st.end() && t->first + 1 == j->second) {
                int l = t->second, r = j->first;    // 记录合并后的新区间的左右端点的值
                st.erase(t), st.erase(j);   // 把原来的两个区间删除
                t = st.insert({r, l}).first;    // 插入新区间，右端点为第一关键字，左端点为第二关键字，同时获得新区间的迭代器
            }
            // 否则这两个区间不可以合并
            else {
                t++;    // 当前区间变成下一个区间
            }
        }
        
        printf("%d ", val);
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1242. 修改数组（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/799/