旅游规划

旅游规划

$W$ 市的交通规划出现了重大问题，市政府下定决心在全市各大交通路口安排疏导员来疏导密集的车流。

但由于人员不足，$W$ 市市长决定只在最需要安排人员的路口安排人员。

具体来说，$W$ 市的交通网络十分简单，由 $n$ 个交叉路口和 $n−1$ 条街道构成，交叉路口路口编号依次为 $0,1,…,n−1$ 。

任意一条街道连接两个交叉路口，且任意两个交叉路口间都存在一条路径互相连接。

经过长期调查，结果显示，如果一个交叉路口位于 $W$ 市交通网最长路径上，那么这个路口必定拥挤不堪。

所谓最长路径，定义为某条路径 $p= \left( {v_{1},v_{2},…,v_{k}} \right)$，路径经过的路口各不相同，且城市中不存在长度大于 $k$ 的路径（因此最长路径可能不唯一）。

因此 $W$ 市市长想知道哪些路口位于城市交通网的最长路径上。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$。

之后 $n−1$ 行每行两个整数 $u,v$，表示编号为 $u$ 和 $v$ 的路口间存在着一条街道。

输出格式

输出包括若干行，每行包括一个整数——某个位于最长路径上的路口编号。

为了确保解唯一，请将所有最长路径上的路口编号按编号顺序由小到大依次输出。

数据范围

$1 \leq n \leq 2 \times {10}^{5}$

输入样例：

10
0 1
0 2
0 4
0 6
0 7
1 3
2 5
4 8
6 9

输出样例：

0
1
2
3
4
5
6
8
9

 

解题思路

　　题意就是求树的直径上的所有点，其中可能存在多条树的直径。

　　这里用树形dp来求树的直径。

　　对于一颗树，当我们选定一个点为根后，那么对于任何一条路径，都存在一个唯一的最高点。即不管是哪条路径，其最高点是唯一的。如图：

　　直径是所有路径里面的最大值。将所有路径按照最高点进行分类，划分集合，则最高点为$1$的是一类，最高点为$2$的是一类，......，以此类推，一共可以分成$n$组，树的直径就是某一组中的路径的最大值。

　　记每个以$i$为最高点，且以$i$为端点的所有路径的最大值为$d_{1}\left[ i \right]$，次大值为$d_{2}\left[ i \right]$。

　　对于根节点，先求出所有子节点的最大路径（即以子节点端点的最长的路径长度，同时子节点也是这条路径的最高点）$d_{1}\left[ i \right]$。然后从这些$d_{1}\left[ i \right]$中，找到最大值和次大值，从而得到以根节点为最高点的，且以根节点为端点的所有路径的最大值$d_{1}\left[ root \right]$和次大值$d_{2}\left[ root \right]$。

　　接下来我们从根节点出发，选择两个以子节点为端点的路径与根节点连成一条更长的路径，此时根节点仍为路径的最高点，但路径不是以根节点为端点了。要使得路径长度最大，就是$d_{1}\left[ root \right] + d_{2}\left[ root \right]$。同时这条最长路径，对应以根节点为最高点的那个集合的最大值。

　　因此要求树的直径，就是求以每一个结点为根节点的$d_{1}\left[ root \right] + d_{2}\left[ root \right]$，树的直径就是这些值中的最大值。

　　求最大路径的题可以看这篇博文：大臣的旅费：https://www.cnblogs.com/onlyblues/p/15940402.html

　　但这题并不是求树的直径，而是树的直径上的所有点。方法是遍历每一个点，看一下这个点是否在树的直径上。即选择两个与该结点相邻的结点（叶子结点除外），将以这两个结点为端点的路径与该结点相连，与上面的做法相同，判断这条连接的路径是否为树的直径就可以了。

　　对于树中任何一个结点，都有一个向上的结点（这个结点的父节点）和向下的若干个结点（子节点。叶子结点除外）。对于向下的子节点，前面我们已经求得最大路径长度$d_{1}\left[ root \right]$和次大路径长度$d_{2}\left[ root \right]$。对于向上的父结点，这里记向上的最大路径长度为$up \left[ root \right]$，表示以根节点为端点（不是最高点）的一条向上的路径，这条路径长度的取值又取决于其父节点的$up \left[ fa \right]$，并且要取尽可能大的值。我们就是要找到$d_{1}\left[ root \right]$、$d_{2}\left[ root \right]$、$up \left[ root \right]$这三个的最大值和次大值，两者相加，如果长度等于树的直径，那么这个点就在树的直径上，否则不在。

　　从根节点往上走，走的到父节点，再从父节点走的话又可以走多远。这个最远的值加上$1$就是$up \left[ root \right]$。从根节点的父节点$fa$走有两种值：

• 从$fa$往上继续走，$up \left[ fa \right]$。
• 从$fa$往下走：
  • 如果根节点$root$在$d_{1}\left[ fa \right]$这条路径上，那么不能用这条路径。由于要取尽可能大的值，因此这种情况要选择$d_{2}\left[ fa \right]$。
  • 如果根节点$root$不在$d_{1}\left[ fa \right]$这条路径上，那么就取$d_{1}\left[ fa \right]$。

　　最后$up \left[ root \right]$就是这两种情况的最大值再加上$1$。本质就是找一条从父节点出发的最长路径，这条路径不能够经过子节点且要是最长的。

　　为了判断根节点$root$是否在$d_{1}\left[ fa \right]$这条路径上，这里还需要开一个数组来记录每个结点的最长路径$d_{1}\left[ root \right]$所对应的那个子节点。

　　求$d_{1}\left[ root \right]$、$d_{2}\left[ root \right]$是一个自下而上的过程，而求$up \left[ root \right]$则是一个自上而下的过程。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 10, M = N << 1;

int head[N], e[M], ne[M], idx;
int d1[N], d2[N], son[N], up[N];
int maxd;

void add(int v, int w) {
    e[idx] = w, ne[idx] = head[v], head[v] = idx++;
}

void dfs_d(int src, int pre) {
    for (int i = head[src]; i != -1; i = ne[i]) {
        if (e[i] != pre) {
            dfs_d(e[i], src);   // 求子节点的最大路径长度
            
            // 更新根节点的最大路径长度和次大路径长度
            int d = d1[e[i]] + 1;
            if (d >= d1[src]) {
                d2[src] = d1[src];
                d1[src] = d;
                son[src] = e[i];
            }
            else if (d > d2[src]) {
                d2[src] = d;
            }
        }
    }
    
    maxd = max(maxd, d1[src] + d2[src]);    // 树的直径就是每个结点的d1+d2，取最大值
}

void dfs_up(int src, int pre) {
    for (int i = head[src]; i != -1; i = ne[i]) {
        if (e[i] != pre) {
            // 自下而上的过程，当枚举都某个结点时，这个结点的up值已经确定，则其子节点的up值也就确定了
            if (son[src] == e[i]) up[e[i]] = max(up[src], d2[src]) + 1; // 如果子节点在src的d1这条路径上，那么不可以取d1[src]
            else up[e[i]] = max(up[src], d1[src]) + 1;  // 如果子节点不在src的d1这条路径上，可以取d1[src]
            dfs_up(e[i], src);
        }
    }
}

int main() {
    memset(head, -1, sizeof(head));
    
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        int v, w;
        scanf("%d %d", &v, &w);
        add(v, w), add(w, v);
    }
    
    dfs_d(0, -1);
    dfs_up(0, -1);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d[3] = {d1[i], d2[i], up[i]};
        sort(d, d + 3);
        if (d[1] + d[2] == maxd) printf("%d\n", i); // 取每个结点的d1，d2，up中的最大的两个连成一条路径，再判断是不是树的直径长度
    }
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1078. 旅游规划（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/792/