组合数递推公式的推导

　　突然想到可以从集合的角度来推导组合数的递推公式，特意记下来。

$$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$$

　　可以把$C_{n}^{m}$理解为从$n$个元素中选取$m$个元素所组成的集合的数量，也就是说这些集合中的元素个数恰好都为$m$个，并且这$m$个元素都是从$n$个元素中选出来的，而这样的集合的个数就为$C_{n}^{m}$个。

　　显然，对于包含$m$个元素的这些集合中，对于某个元素$x$，这些集合中要么包含$x$，要么不包含$x$。因此我们可以把这些集合划分成两类，一类是包含$x$的集合，另一类是不包含$x$的集合，这样一定可以把这$C_{n}^{m}$个集合不重不漏地划分为两类。我们分别算一下在这两类中，每一类中含有的集合个数是多少，最后把这两类的分别含有的集合个数加起来，就可以得到$C_{n}^{m}$这个值。

　　下面我们来分别计算这两类中各自含有的集合的个数。

　　$1.$ 首先是包含元素$x$的一类：

　　每个集合中包含的元素个数都为$m$，且必定包含元素$x$。由于是组合，不考虑顺序，我们统一把$x$放在最后一个位置。

　　我们来把被划分到这类的集合表现出来，其中$o$代表任意一个元素，并且不存在为$x$的元素。

　　现在要求的是有多少个这样的集合。由于每一个集合的最后一个元素为$x$，我们可以把每个集合中的$x$去除，这种做法并不影响这些集合的个数。

　　现在问题就等价于，只考虑由前$m-1$个元素构成的集合的个数有多少个。

　　由于这些集合中的前$m-1$个元素都不为$x$，我们可以把$x$从$n$个元素中去除，变成了$n-1$个元素。

　　要知道组成这$m-1$个元素的集合的个数有多少个，就等价于从$n-1$个元素里面选出$m-1$个元素的方案数，也就是$C_{n-1}^{m-1}$。

　　所以这一类所包含的集合的个数为$C_{n-1}^{m-1}$。

　　$2.$ 然后是不包含元素$x$的一类：

　　每个集合中包含的元素个数都为$m$，且必定不包含元素$x$。其中$o$代表任意一个元素，并且不存在为$x$的元素。

　　现在要求的是有多少个这样的集合。由于每一个集合都不包含元素$x$，因此我们可以先把$x$从$n$个元素中去除，变成$n-1$个元素，现在这$n-1$个元素中是没有$x$的了。

　　等价于要知道从这$n-1$个元素里面选$m$个元素的方案数，也就是$C_{n-1}^{m}$。

　　所以这一类所包含的集合的个数为$C_{n-1}^{m}$。

　　最后就是把这两类的各自含有集合的个数加起来，就得到从个$n$元素中选取$m$个元素的集合的数量，即 $$C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}$$