乘积最大

乘积最大

给定 $N$ 个整数 $A_{1},A_{2},…A_{N}$。

请你从中选出 $K$ 个数，使其乘积最大。

请你求出最大的乘积，由于乘积可能超出整型范围，你只需输出乘积除以 $1000000009$ 的余数。

注意，如果 $X<0$， 我们定义 $X$ 除以 $1000000009$ 的余数是负$\left( {−X} \right)$除以 $1000000009$ 的余数，即：$0 - \left( {\left( {0 - x} \right)\% 100000009} \right)$

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。

以下 $N$ 行每行一个整数 $A_{i}$。

输出格式

输出一个整数，表示答案。

数据范围

$1 \leq K \leq N \leq {10}^{5}$,
${−10}^{5} \leq A_{i} \leq {10}^{5}$

输入样例1：

5 3
-100000
-10000
2
100000
10000

输出样例1：

999100009

输入样例2：

5 3
-100000
-100000
-2
-100000
-100000

输出样例2：

-999999829

 

解题思路

　　由于数中可能会有负数，为了尽可能得到正数，每次我们都成对选数。

1. $k == n$，则全选。
2. $k < n$：
   1. 如果$k$是偶数，结果必然可以取到非负，原因如下：
      1. 如果负数的个数是偶数个，那么我们每次都成对去选，必然可以保证选的负数是偶数个，从而保证答案可以是非负的。
      2. 如果负数的个数是奇数个，由于$k < n$，我们一定可以把其中一个负数剔除掉，不选这个负数，那么负数又变成偶数个，变成上一种情况，保证答案可以是非负的。
   2. 如果$k$是奇数：
      1. 如果全部数都是负数，结果必然小于$0$。
      2. 如果至少存在一个数是非负的，那么我们先选择其中一个非负的数，那么就变成了从$n - 1$个数中选$k - 1$个数，同时$k - 1$是偶数，又变成了上面第一类的情况，从而保证答案可以是非负的。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10, mod = 1e9 + 9;

int a[N];

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    
    sort(a, a + n);
    
    int ret = 1, i = 0, j = n - 1, sign = 1;
    if (m & 1) {        // 如果k是奇数
        ret = a[j--];   // 先选择最右边的那个数
        if (ret < 0) sign = -1; // 如果最右边的数是负数，意味着全部数都是负数
        m--;
    }
    
    while (m) {
        LL left = (LL)a[i] * a[i + 1], right = (LL)a[j] * a[j - 1]; // 每次成对选数
        
        // 选择最左最右乘积最大的一对数。其中如果所有数是负数，那么应该选择最右边的那对
        if (left * sign > right * sign) {
            ret = left % mod * ret % mod;
            i += 2;
        }
        else {
            ret = right % mod * ret % mod;
            j -= 2;
        }
        m -= 2;
    }
    
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1239. 乘积最大（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/735/