均值不等式证明

  设x1, x2, , xn为非负实数,其中有:

  调和平均数Hn=n1x1+1x2++1xn=ni=1n1xi

  几何平均数Gn=x1x2xnn=i=1nxin

  算数平均数An=x1+x2++xnn=i=1nxin

  平方平均数Qn=x12+x22++xn2n=i=1nxi2n

  均值不等式:HnGnAnQn,即ni=1n1xii=1nxini=1nxini=1nxi2nx1=x2== xn时,取等号。

 

证明

  先用归纳法证明GnAn

  当n=2时,由不等式 a+b2ab 得到 a+b2ab,成立。

  假设当n=k时成立,当n=k+1时,有Ak+1=(k+1)Ak+1+(k1)Ak+12k=x1+x2++xk+xk+1+Ak+1+Ak+1++Ak+12k=(x1+x2++xk)+(xk+1+Ak+1++Ak+1)2k12k(kx1x2xkk+kxk+1Ak+1k1k)=12(x1x2xkk+xk+1Ak+1k1k)由不等式a+b2abAk+1x1x2xkxk+1Ak+1k12kAk+12kx1x2xkxk+1Ak+1k1Ak+1k+1x1x2xkxk+1Ak+1x1x2xkxk+1k+1x1+x2++xk+1k+1x1x2xk+1k+1得证。

  下面证明HnGn

  很简单,只需要将不等式GnAn中的xi都替换成1xi,得到1x1+1x2++1xnn1x11x21xnnn1x1+1x2++1xnx1x2xnn得证。

  最后证明AnQn

  先引入柯西不等式i=1nai2i=1nbi2(i=1naibi)2a1b1=a2b2==anbna1=a2==an=0b1=b2==bn=0时,取等号。

  归纳法证明柯西不等式。

  当n=2时,(a12+a22)(b12+b22)=a12b12+a12b22+a22b12+a22b22=a12b12+a22b12+2a1a2b1b2+a12b22+a22b222a1a2b1b2=(a1b1+a2b2)2+(a1b2a2b1)2(a1b1+a2b2)2成立。

  假设当n=k时成立,当n=k+1时,有i=1k+1ai2i=1k+1bi2=((i=1kai2)2+ak+12)((i=1kbi2)2+bk+12)(i=1kai2i=1kbi2+ak+1bk+1)2i=1kaibi+ak+1bk+1=i=1k+1aibi得证。

  由柯西不等式(1ni=1nxi)2=1n2(x11+x21++xn1)21n2(x12+x22++xn2)(121212)=x12+x22++xn2n

1ni=1nxi=x1+x2++xnnx12+x22++xn2n得证。

 

参考资料

  【不等式】均值不等式及其应用:https://zhuanlan.zhihu.com/p/33706065

  柯西不等式的几种证明方法:https://zhuanlan.zhihu.com/p/397034475

  均值不等式:https://baike.baidu.com/item/%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F/8046796

 
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