设x1, x2, …, xn为非负实数,其中有:
调和平均数Hn=n1x1+1x2+⋯+1xn=nn∑i=11xi
几何平均数Gn=n√x1⋅x2⋅⋯⋅xn=n
⎷n∏i=1xi
算数平均数An=x1+x2+⋯+xnn=n∑i=1xin
平方平均数Qn=√x21+x22+⋯+x2nn=
⎷n∑i=1x2in
均值不等式:Hn≤Gn≤An≤Qn,即nn∑i=11xi≤n
⎷n∏i=1xi≤n∑i=1xin≤
⎷n∑i=1x2in当x1=x2=⋯= xn时,取等号。
证明
先用归纳法证明Gn≤An。
当n=2时,由不等式 a+b≥2⋅√ab 得到 a+b2≥√ab,成立。
假设当n=k时成立,当n=k+1时,有Ak+1=(k+1)⋅Ak+1+(k−1)⋅Ak+12k=x1+x2+⋯+xk+xk+1+Ak+1+Ak+1+⋯+Ak+12k=(x1+x2+⋯+xk)+(xk+1+Ak+1+⋯+Ak+1)2k≥12k(k⋅k√x1⋅x2⋅⋯⋅xk+k⋅k√xk+1⋅Ak−1k+1)=12(k√x1⋅x2⋅⋯⋅xk+k√xk+1⋅Ak−1k+1)由不等式a+b≥2⋅√ab得Ak+1≥2k√x1⋅x2⋅⋯⋅xk⋅xk+1⋅Ak−1k+1A2kk+1≥x1⋅x2⋅⋯⋅xk⋅xk+1⋅Ak−1k+1Ak+1k+1≥x1⋅x2⋅⋯⋅xk⋅xk+1Ak+1≥k+1√x1⋅x2⋅⋯⋅xk⋅xk+1即x1+x2+⋯+xk+1k+1≥k+1√x1⋅x2⋅⋯⋅xk+1得证。
下面证明Hn≤Gn。
很简单,只需要将不等式Gn≤An中的xi都替换成1xi,得到1x1+1x2+⋯+1xnn≥n√1x1⋅1x2⋅⋯⋅1xn即n1x1+1x2+⋯+1xn≤n√x1⋅x2⋅⋯⋅xn得证。
最后证明An≤Qn。
先引入柯西不等式n∑i=1a2i⋅n∑i=1b2i≥(n∑i=1ai⋅bi)2当a1b1=a2b2=⋯=anbn或a1=a2=⋯=an=0或b1=b2=⋯=bn=0时,取等号。
归纳法证明柯西不等式。
当n=2时,(a21+a22)⋅(b21+b22)=a21⋅b21+a21⋅b22+a22⋅b21+a22⋅b22=a21⋅b21+a22⋅b21+2⋅a1a2b1b2+a21⋅b22+a22⋅b22−2⋅a1a2b1b2=(a1⋅b1+a2⋅b2)2+(a1⋅b2−a2⋅b1)2≥(a1⋅b1+a2⋅b2)2成立。
假设当n=k时成立,当n=k+1时,有k+1∑i=1a2i⋅k+1∑i=1b2i=⎛⎜⎝⎛⎜⎝
⎷k∑i=1a2i⎞⎟⎠2+a2k+1⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝⎛⎜⎝
⎷k∑i=1b2i⎞⎟⎠2+b2k+1⎞⎟⎠≥⎛⎜⎝
⎷k∑i=1a2i⋅k∑i=1b2i+ak+1⋅bk+1⎞⎟⎠2≥k∑i=1ai⋅bi+ak+1⋅bk+1=k+1∑i=1ai⋅bi得证。
由柯西不等式(1n⋅n∑i=1xi)2=1n2(x1⋅1+x2⋅1+⋯+xn⋅1)2≤1n2⋅(x21+x22+⋯+x2n)⋅(12⋅12⋅⋯⋅12)=x21+x22+⋯+x2nn
即1n⋅n∑i=1xi=x1+x2+⋯+xnn≤√x21+x22+⋯+x2nn得证。
参考资料
【不等式】均值不等式及其应用:https://zhuanlan.zhihu.com/p/33706065
柯西不等式的几种证明方法:https://zhuanlan.zhihu.com/p/397034475
均值不等式:https://baike.baidu.com/item/%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F/8046796
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