地宫取宝

地宫取宝

$X$ 国王有一个地宫宝库，是 $n \times m$ 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 $k$ 件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 $k$ 件宝贝。

输入格式

第一行 $3$ 个整数，$n$,$m$,$k$，含义见题目描述。

接下来 $n$ 行，每行有 $m$ 个整数 $C_{i}$ 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。

输出格式

输出一个整数，表示正好取 $k$ 个宝贝的行动方案数。

该数字可能很大，输出它对 $1000000007$ 取模的结果。

数据范围

$1 \leq n,m \leq 50$,
$1 \leq k \leq 12$,
$0 \leq C_{i} \leq 12$

输入样例1：

2 2 2
1 2
2 1

输出样例1：

2

输入样例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

输出样例2：

14

 

解题思路

　　可以发现这是一个求集合最大值的问题，可以用动态规划。题目的限制有，每次只能向下或向右走、一定要按照递增的顺序取物品、要恰好取$k$件物品。

　　dp的维度可以根据这几个限制来确定。首先用$2$维来表示坐标。再用$1$维来表示取的最后一件物品的值，因为物品是按照递增的顺序取的，因此只需要知道最后取的物品大小就可以了。再开一维来表示取了多少件物品。所以dp的维度为$4$维，$f \left( i,j,k,c \right)$。

　　大概可以知道一共需要$5$重循环，前$4$重循环来枚举$4$个维度，还需要一个循环来进行状态转移计算。大概是一个$50 \times 50 \times 12 \times 13 \times \left( 25 \right)$的计算量。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 60, M = 15, mod = 1e9 + 7;

int graph[N][N], f[N][N][M][M];

int main() {
    int n, m, num;
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &num);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            scanf("%d", &graph[i][j]);
            graph[i][j]++;      // c的取值范围变为1~13，因为0用来表示当k为0时取的最后一件物品的价值为0
        }
    }
    
    // 初始化，(1, 1)取一件物品，最后一件物品的价值就是graph[i][j]; (1, 1)不取物品，对应最小的数0
    f[1][1][1][graph[1][1]] = f[1][1][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            for (int k = 0; k <= num; k++) {
                for (int u = 0; u < M; u++) {
                    f[i][j][k][u] = (f[i][j][k][u] + f[i - 1][j][k][u]) % mod;
                    f[i][j][k][u] = (f[i][j][k][u] + f[i][j - 1][k][u]) % mod;
                    if (u == graph[i][j] && k) {    // 因为时取得情况，要求k>0，且满足u==graph[i][j]
                        for (int c = 0; c < u; c++) {
                            f[i][j][k][u] = (f[i][j][k][u] + f[i - 1][j][k - 1][c]) % mod;
                            f[i][j][k][u] = (f[i][j][k][u] + f[i][j - 1][k - 1][c]) % mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i < M; i++) {
        ret = (ret + f[n][m][num][i]) % mod;
    }
    printf("%d", ret);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1212. 地宫取宝（蓝桥杯C++ AB组辅导课）：https://www.acwing.com/video/638/