拖拉机

拖拉机

干了一整天的活，农夫约翰完全忘记了他把拖拉机落在田地中央了。

他的奶牛非常调皮，决定对约翰来场恶作剧。

她们在田地的不同地方放了$N$捆干草，这样一来，约翰想要开走拖拉机就必须先移除一些干草捆。

拖拉机的位置以及$N$捆干草的位置都是二维平面上的整数坐标点。

拖拉机的初始位置上没有干草捆。

当约翰驾驶拖拉机时，他只能沿平行于坐标轴的方向（北，南，东和西）移动拖拉机，并且拖拉机必须每次移动整数距离。

例如，驾驶拖拉机先向北移动$2$单位长度，然后向东移动$3$单位长度。

拖拉机无法移动到干草捆占据的位置。

请帮助约翰确定他需要移除的干草捆的最小数量，以便他能够将拖拉机开到二维平面的原点。

输入格式

第一行包含三个整数：$N$以及拖拉机的初始位置$\left( x,y \right)$。

接下来$N$行，每行包含一个干草捆的位置坐标$\left( x,y \right)$。

输出格式

输出约翰需要移除的干草捆的最小数量。

数据范围

$1 \leq N \leq 50000$,

$1 \leq x,y \leq 1000$

输入样例：

7 6 3
6 2
5 2
4 3
2 1
7 3
5 4
6 4

输出样例：

1

 

解题思路

　　首先先审题，题目给出的干草捆的坐标范围虽然是$1 \sim 1000$，但并不代表整个图的被限制在$1000 \times 1000$的矩阵中，整个图其实是无限大的，点还可以走到$1001$以外的地方。类似于这样的效果。

　　但事实上我们不可能去搜索一个无限大的图。因为障碍物的坐标范围为$1 \leq x,y \leq 1000$，因此我们可以给$1000 \times 1000$的矩阵扩大一圈（扩大的一圈没有障碍物），$0 \sim 1001$，也就是只用搜$1001 \times 1001$的矩阵就可以了。

　　接着我们抽象出一个图的模型。首先，每一个格子就是一个点。边的话，就是每个格子上下左右四个方向，相邻的格子可以看作是有边相连的。然后不同的是这题要的并不是边权，而是点权（其实两者差不了多少）。如果一个格子是障碍物的话，那么这个格子的点权是$1$，否则是$0$。

　　然后我们可以把原问题转化为一个求最短路的问题。

　　首先要证明这两个问题是等价的。对于任意一个从起点到终点的走法，原问题中移走障碍物的一种走法就对于一条路径，并且移走障碍物的数量就是这条路径的权值和。所以原问题的每一个方案就对应一条从起点到终点的路径，反过来每一条路径对应原问题的一个方案，而且路径长度就是移走障碍物的数量。所以要求原问题的最优解，等价于求最短路。

　　当时写这题的话完全没有这种抽象的意识，完全没有去这么想，所以写不出来。

　　然后我们发现，每条边的权重只有$0$和$1$。如果全部边的权重为$1$，我们可以用bfs求最短路。而只有$0$和$1$的话就用双端队列广搜。

　　其实双端队列广搜本质就是$dijkstra$算法，不过由于边权只有$0$和$1$的特殊性，把堆变成了双端队列，时间复杂度为$O \left( n \right)$。

　　原理是，从一个点扩展的时候另一个点$x$的时候，如果边权为$0$，则把$x$插队头；如果边权为$1$，则把$x$插队尾。

　　下面证明为什么可以用双端队列代替堆。

　　首先是证明双端队列中所有的点到起点的距离大小最多只有两种，而且如果有两种的话他们的大小只相差$1$。比如，如果有两种不同的距离，那么双端队列前部分的点到起点的距离都是$l$，后部分的点到起点的距离都是$l+1$。如果只有一种距离，那么双端队列中的点到起点的距离都是$l$。

 

　　用归纳法。初始时，双端队列只有一个起点，显然成立。假设当双端队列的大小为$n-1$时成立，证明当双端队列的大小为$n$时也成立。对于任意一个大小为$n$的双端队列，因为我们每次只能往队列插入一个元素，所以它是由大小为$n-1$的双端队列扩展出来的。因为对于长度为$n-1$的双端队列条件是成立的，所以到起点的距离大小不同的点最多只有两段。然后我们每次扩展都是从队头取出元素的，若从队头取出的元素到起点的距离为$l$，扩展的结果只有两种：一种是边权为0，扩展的结果就为$l+0=l$，插入队头；另一种是边权为$1$，扩展的结果就为$l+1$，插入队尾。插完后我们会发现，双端队列中还是最多只有两种不同的距离。前面是队列中有两种不同距离的证明，只有一种距离的证明同理。

　　所以可以证明对于任何大小的双端队列，队列中所有的点到起点的距离大小最多只有两种，而且前一段的点到起点的距离为$l$，后一段的点到起点的距离为$l+1$。

　　也就意味着，任何时刻队列中所有的点，到起点的距离是升序的，所以队头的点到起点的距离一定是最小值，所以可以起到堆的效果。

　　代码的写法和$dijkstra$的很像，只不过这里把优先队列改成了双端队列，边是根据曼哈顿距离来选择的。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 1010;

int graph[N][N], dist[N][N];
bool vis[N][N];

int bfs(int sx, int sy) {
    deque<PII> dq;
    dq.push_back({sx, sy});
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    dist[sx][sy] = 0;
    
    int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
    
    while (!dq.empty()) {
        PII t = dq.front();
        dq.pop_front();
        
        if (vis[t.first][t.second]) continue;
        vis[t.first][t.second] = true;
        if (vis[0][0]) break;
        
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int x = t.first + dx[i], y = t.second + dy[i];
            
            // 点要满足在合法的位置，而且距离变小（入队不需要判重）
            if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && dist[x][y] > dist[t.first][t.second] + graph[x][y]) {
                dist[x][y] = dist[t.first][t.second] + graph[x][y];
                if (graph[x][y]) dq.push_back({x, y});  // 边权为0加入队头
                else dq.push_front({x, y});             // 边权为1加入队尾
            }
        }
    }
    
    return dist[0][0];
}

int main() {
    int n, sx, sy;
    scanf("%d %d %d", &n, &sx, &sy);
    while (n--) {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        graph[x][y] = 1;
    }
    
    printf("%d", bfs(sx, sy));
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 2019. 拖拉机（寒假每日一题2022）：https://www.acwing.com/video/3656/