金发姑娘和N头牛

金发姑娘和N头牛

你可能听过关于金发姑娘和三只熊的经典故事。

然而，鲜为人知的是，金发姑娘最终成了一个农民。

在她的农场中，她的牛棚里有$N$奶牛。

不幸的是，她的奶牛对温度相当敏感。

对于奶牛$i$，使其感到舒适的温度为$A_{i}…B_{i}$。

如果金发姑娘将牛棚的恒温器的温度$T$设置为$T < A_{i}$，奶牛就会觉得冷，并会产出$X$单位的牛奶。

如果她将恒温器的温度$T$设置在$A_{i} \leq T \leq B_{i}$，奶牛就会感到舒适，并会产出$Y$单位的牛奶。

如果她将恒温器的温度$T$设置为$T > B_{i}$，奶牛就会觉得热，并会产出$Z$单位的牛奶。

正如所期望的那样，$Y$的值始终大于$X$和$Z$。

给定$X$，$Y$，$Z$以及每头奶牛感到舒适的温度范围，请计算通过合理设定恒温器温度，金发姑娘可获得的最大产奶量。

恒温器温度可设置为任何整数。

输入格式

第一行包含四个整数$N$，$X$，$Y$，$Z$。

接下来$N$行，每行包含两个整数$A_{i}$和$B_{i}$。

输出格式

输出可获得的最大产奶量。

数据范围

$1 \leq N \leq 20000$,
$0 \leq X, Y, Z \leq 1000$,
$0 \leq A_{i} \leq B_{i} \leq {10}^{9}$

输入样例：

4 7 9 6
5 8
3 4
13 20
7 10

输出样例：

31

样例解释：

金发姑娘可以将恒温器温度设置为$7$或$8$，这样会让奶牛$1$和$4$感到舒适，奶牛$2$感到热，奶牛$3$感到冷。

共可获得$31$单位牛奶。

 

解题思路

　　题目意思大概就是，在一个无限长的数轴上给定一个区间，然后在该区间上的任取一个值（温度），对答案（产量）的贡献为$y$。如果在这个区间的左部分取值的话，则对答案的贡献为$x$。如果在这个区间的右部分取值的话，则对答案的贡献为$z$。

　　等价于给每个区间都加上对应的数值，可以联想到差分。　

　　这题给的$N$的数据范围很小，但值域却很大。实际上我们会用到的下标的值不会超过$2N$个，因此可以进行离散化。

　　用差分数组得到原数组的话，其实是求差分数组的前缀和。值为$0$的位置其实可以不用管，因为$0$对前缀和没有影响。所以求最大值的时候可以把所有的$0$全部跳过。这意味着求前缀和的时候，只需要用所有出现过的数就可以了。因此我们只需要存区间的左右端点的下标就可以了。

　　这里可以用map实现，$key$是下标，$value$是$x$或$y$或$z$。并且在遍历的时候，map会实现$key$的有序排序，因此可以用map来实现离散化。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <map>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INF = 2e9;

map<int, int> mp;

int main() {
    int n, x, y, z;
    scanf("%d %d %d %d", &n, &x, &y, &z);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int left, right;
        scanf("%d %d", &left, &right);

        mp[-INF] += x, mp[left] -= x;
        mp[left] += y, mp[right + 1] -= y;
        mp[right + 1] += z, mp[INF] -= z;
    }

    int sum = 0, ret = 0;
    for (auto &it : mp) {
        sum += it.second;
        ret = max(ret, sum);
    }
    printf("%d", ret);

    return 0;
}

　　用map实现的话常数会比较大，运行效率没有手写高，因此下面给出手写实现离散化的方式。

• 先把每次用到的左右下标分别存储到数组$l$和$r$中。
• 同时把所有的下标都存储到$alls$中。然后进行排序，去重。这时所有会用到的下标会按大小顺序映射到$0, 1, ...$，达到保序的效果。
• 接着遍历一遍数组$l$和$r$，通过二分找到映射后的下标，在差分数组$b$对应的左右区间端点进行操作。
• 最后对差分数组求一遍前缀和，最大的值就是答案。

　　AC代码如下：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 2e4 + 10, INF = 2e9;

vector<int> alls;
int l[N], r[N], b[2 * N];

int find(int x) {
    int left = 0, right = alls.size() - 1;
    while (left < right) {
        int mid = left + right >> 1;
        if (alls[mid] >= x) right = mid;
        else left = mid + 1;
    }

    return left;
}

int main() {
    int n, x, y, z;
    scanf("%d %d %d %d", &n, &x, &y, &z);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d %d", l + i, r + i);
        alls.push_back(l[i]), alls.push_back(r[i] + 1);
    }
    alls.push_back(-INF), alls.push_back(INF);

    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int left = find(l[i]), right = find(r[i] + 1);
        b[0] += x, b[left] -= x;
        b[left] += y, b[right] -= y;
        b[right] += z, b[alls.size() - 1] -= z;
    }

    int sum = 0, ret = 0;
    for (int i = 0; i < alls.size() - 1; i++) {
        sum += b[i];
        ret = max(ret, sum);
    }
    printf("%d", ret);

    return 0;
}

 

参考资料

　　AcWing 1952. 金发姑娘和 N 头牛（寒假每日一题2022）：https://www.acwing.com/video/3667/