卢卡斯定理证明

卢卡斯定理

  对于非负整数ab质数p,有CabCa mod pb mod pCa/pb/p  (mod p)

 

证明1

引理

(1+x)pα1+xpα  (mod p)

  当α=0 时,显然成立。

  当α=1时,有(1+x)p=Cp0x0+Cp1x1+Cp2x2++Cppxp其中Cpi=p!(pi)!i!由于p是质数,所以在上式的分母中,不存在可以消去分子中为p的数,因此当i=1, 2, ..., p1时,有Cpi=p!(pi)!i!0  (mod p)因此(1+x)p=Cp0x0+Cp1x1+Cp2x2++CppxpCp0x0+Cppxp=1+xp  (mod p)(1+x)p1+xp  (mod p)

  数学归纳法。假设当(1+x)pα1+xpα  (mod p)成立时,证明(1+x)pα+11+xpα+1  (mod p)也成立。(1+x)pα+1=((1+x)pα)p(1+xpα)p  (mod p)=Cp0(xpα)0+Cp1(xpα)1+Cp2(xpα)2++Cpp(xpα)p1+xpα+1  (mod p)(1+x)pα+11+xpα+1  (mod p)引理证毕。

  接下来我们把ab转换为对应的p进制数,即a=akpk+ak1pk1++a0b=bkpk+bk1pk1++b0如果abp进制下的位数不一样,那么就在位数小的前面补0,使得他们的位数是一样的。

  接着我们有(1+x)a=(1+x)ak pk + ak1  pk1 +  + a0=((1+x)pk)ak((1+x)pk1)ak1  ((1+x)p0)a0(1+xpk)ak(1+xpk1)ak1  (1+x)a0  (mod p)(1+x)a(1+xpk)ak(1+xpk1)ak1  (1+x)a0  (mod p)

  我们要知道Cab的值,其实就是左式展开中的xb的系数。而在右式中,等价于要知道xbk  pk + bk1  pk1 +  + b0的系数,即CakbkCak1bk1  Ca0b0其中,Cakbk为右式(1+xpk)ak(xpk)bk的系数,简单来说可以类比成Cab(1+x)a展开式中xb的系数,以此类推。因此有CabCakbkCak1bk1  Ca0b0  (mod p)为了将上式转换为如下形式CabCa mod pb mod pCa/pb/p  (mod p)我们先把CakbkCak1bk1  Ca0b0拆分成CakbkCak1bk1  Ca1b1Ca0b0这两部分。

  首先对于Ca0b0,其实它就等于Ca mod pb mod p,这是因为我们要得到某个数的p进制数,就要用p整除这个数,得到一个商和余数;再用p去除商,又得到一个商和余数,以此类推,直到商为小于p时为止。以a为例,把最先得到的余数作为p进制数的最低位有效位,也就是a0。我们又知道a可以表述为这种形式a=app+r,这里的余数r正是对应于a0。以此类推b也一样。

  然后就是CakbkCak1bk1  Ca1b1。试想一下,我们是通过把ab转换为p进制a=akpk+ak1pk1++a0b=bkpk+bk1pk1++b0进而推出CabCakbkCak1bk1  Ca0b0  (mod p)现在我们把ab都右移1位,得到apbp,对应的p进制就是ap=akpk1+ak1pk2++a1bp=bkpk1+bk1pk2++b1用类比的方法,我们就可以得到CakbkCak1bk1  Ca1b1Ca/pb/p  (mod p)事实上这是正确的,我们可以从Ca/pb/p入手分析,方法与上面分析Cab的一样(这也暗示我们可以用递归来求解),同样会得到Ca/pb/pCakbkCak1bk1  Ca1b1  (mod p)

  因此,有CabCakbkCak1bk1  Ca0b0Ca mod pb mod pCa/pb/p  (mod p)定理得证。

 

证明2

  这里再给出另一种证法。

  我们设

{a/p=qab/p=qb, {a mod p=rab mod p=rb所以有

{a=qap+rab=qbp+rb根据二项式定理有(1+x)a=k=0aCakxk同时也有(1+x)a=(1+x)qap+ra=(1+x)qap(1+x)ra(1+xp)qa(1+x)ra  (mod p)=i=0qaCqaixipj=0raCrajxj=i=0qaj=0raCqaiCrajxip+j(1+x)ai=0qaj=0raCqaiCrajxip+j  (mod p)我们令x的指数为k=ip+j,其中0iqa, 0jp1,同时有0ka,所以可以把上式修改为从0枚举到aij就变为i=kp+jp=kpj=kip=k mod p所以就有(1+x)ak=0aCqak/pCrak mod pxk  (mod p)综合上面,得到k=0aCakxkk=0aCqak/pCrak mod pxk  (mod p)然后我们令k=b就会得到CabCqab/pCrab mod p  (mod p)CabCa/pb/pCa mod pb mod p  (mod p)定理得证。

 

卢卡斯定理代码

  什么时候用卢卡斯定理呢,只要a的值大于p就需要用到卢卡斯定理了。如果pa小,就不能保证abb的逆元存在了,它们可能是p的倍数。

  相关代码如下:

复制代码
 1 int qmi(int a, int k, int p) {
 2     int ret = 1;
 3     while (k) {
 4         if (k & 1) ret = (long long)ret * a % p;
 5         k >>= 1;
 6         a = (long long)a * a % p;
 7     }
 8     
 9     return ret;
10 }
11 
12 int C(int a, int b, int p) {
13     int ret = 1;
14     for (int i = 1, j = a; i <= b; i++, j--) {
15         ret = (long long)ret * j % p;
16         // 因为总是满足i < p且p为质数,所以应用费马小定理,用快速幂来求得在模p下i的逆元 
17         ret = (long long)ret * qmi(i, p - 2, p) % p;
18     }
19     
20     return ret;
21 }
22 
23 int lucas(long long a, long long b, int p) {
24     if (a < p && b < p) return C(a, b, p);
25     return (long long)C(a % p, b % p, p) * lucas(a / p, b / p, p) % p;
26 }
复制代码

 

参考资料

  AcWing 887. 求组合数 III:https://www.acwing.com/video/308/

  算法学习笔记(25): 卢卡斯定理:https://zhuanlan.zhihu.com/p/116698264

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