二分查找模板

　　看了y总的二分，发现与我之前认识的二分完全不同。我之前学的二分查找是最简单的版本，就是在一个排好序的序列里找一个给定的数。而y总讲的二分更多考虑到了边界，就是通过二分找到满足某一条件的边界。现在终于明白为什么说二分的代码很恶心了。

 

整数二分

　　首先要知道二分的本质并不是单调有序，也就是说不一定要满足单调有序才能够使用二分，不满足单调有序也是可以使用二分的。只要区间的一部分满足某一个条件，另一部分不满足这个条件，就可以使用二分，如下图（两个部分的边界是不重合的）：

　　假设区间绿色的部分是满足条件，而红色部分是不满足条件的，我们二分的结果是满足或不满足条件的边界，也就是箭头所指向的那个点。根据二分的不同结果我们有两种不同的模板。

　　首先我们考虑找到满足绿色部分的边界，也就是第2个箭头的位置，取mid = left + right >> 1。有两种情况：

• 如果mid位置的元素在绿色的部分，如下图:

　　也就是mid位置的元素可能在满足条件的区域内部或是就在满足区域的边界（也就是我们要找的边界，二分的结果），说明我们要找的答案在mid的左边的部分（包含mid所在的那个元素），所以就要更新right = mid（注意，不是mid - 1），区间被划分为[left, mid]。

• 如果mid的位置在红色的部分（不满足条件的部分），如下图：

　　说明我们要找的答案在mid的右边的部分（不包含mid所在的那个元素），无论此时mid的位置是不是红色部分的边界，只要mid在红色的部分，就更新left = mid + 1，区间被划分为[mid + 1, right]。

　　下面是这种二分的模板代码：

// 区间[left, right]被划分成[left, mid]和[mid + 1, right]时使用
int bsearch_2(int left, int right) {
    while (left < right) {
        int mid = left + right >> 1;
        if (check(mid)) right = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else left = mid + 1;
    }
    return left;
}

　　接下来，我们考虑满足红色部分的边界，也就是第1个箭头的位置，取mid = left + right + 1 >> 1（注意这里要+1，原因就是防止出现边界问题）。有两种情况：

• 如果mid位置的元素在红色的部分，如下图:

　　也就是mid位置的元素可能在满足条件的区域内部或是就在满足区域的边界（也就是我们要找的边界，二分的结果），说明我们要找的答案在mid的右边的部分（包含mid所在的那个元素），所以就要更新left = mid（注意，不是mid + 1），区间被划分为[mid, right]。

• 如果mid的位置在绿色的部分（不满足条件的部分），如下图：

　　说明我们要找的答案在mid的左边的部分（不包含mid所在的那个元素），无论此时mid的位置是不是绿色部分的边界，只要mid在绿色的部分，就更新right = mid - 1，区间被划分为[left, mid - 1]。

　　下面是这种二分的模板代码：

// 区间[left, right]被划分成[left, mid - 1]和[mid, right]时使用
int bsearch_2(int left, int right) {
    while (left < right) {
        int mid = left + right + 1 >> 1;    // 注意这里要+1 
        if (check(mid)) left = mid;    　　　// check()判断mid是否满足性质
        else right = mid - 1;
    }
    return left;
}

　　至于mid的取值什么时候要+1，可以这样记：如果该二分满足条件时是left = mid，就要+1；否则是right = mid就不需要+1。

　　给个模板题：

789. 数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1 

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1～10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1 

数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

　　AC代码：

#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    scanf("%d %d", &n, &m);
    int a[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", a + i);
    }
    
    while (m--) {
        int val;
        scanf("%d", &val);
        int left = 0, right =n - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + right >> 1;
            if (a[mid] >= val) right = mid;
            else left = mid + 1;
        }
        
        if (a[left] != val) {
            printf("-1 -1\n");
        }
        else {
            printf("%d ", left);
            
            left = 0, right = n - 1;
            while (left < right) {
                int mid = left + right + 1 >> 1;
                if (a[mid] <= val) left = mid;
                else right = mid - 1;
            }
            
            printf("%d\n", left);
        }
    }
    
    return 0;
}

 

浮点数二分

　　浮点数二分就不想整形二分那样这么多的边界问题，思想与整数二分相似，更为简单。

　　只不过就是把二分循环的条件 while(left < right) ，改为 while(right - left > eps) 。

　　直接给出模板吧：

const double eps = 1e-6;    // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求

double bsearch(double left, double right) {
    while (right - left > eps) {
        double mid = (left + right) / 2;
        if (check(mid)) right = mid;
        else left = mid;
    }
    return left;
}

　　这里有个经验，就是如果题目要求保留m为小数，那么就取 double eps = 1e-(m + 2) ，比如如果要保留6位小数，那么eps = 1e-8。

　　相应的模板题：

790. 数的三次方根

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

-10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

　　AC代码：

#include <cstdio>
using namespace std;

int main() {
    double n;
    scanf("%lf", &n);
    double left = -10000, right = 10000;
    while (right - left > 1e-8) {
        double mid = (left + right) / 2;
        if (mid * mid * mid >= n) right = mid;
        else left = mid;
    }
    printf("%.6f", left);
    
    return 0;
}

 

参考资料

　　常用代码模板1——基础算法：https://www.acwing.com/blog/content/277/